14ª Aula - Revisão: Característica e produto de matrizes. Se B é a transposta de A, rank BA = rank AB = rank A = ran B . Invertibilidade de matrizes à direita e à esquerda e relação com sistemas de equações lineares e característica da matriz. Planos-k em ℝn: subespaços lineares de  ℝn, equações cartesianas. Os 10 resultados mais importantes obtidos e papel central da Eliminação de Gauss e do Princípio da Sobreposição. Notas históricas sobre antecedentes, criação e consolidação das noções de espaço linear e vector.

14 outubro 2019, 09:00 • Luis Magalhães

Revisão: Característica e produto de matrizes.

Teorema: Para qualquer matriz A , rank A^tA = rank A = rank A^t .

Teorema: Se A é matriz mxn,
(1) Os sistemas Ax=b têm solução para todo b ⇔ rank A=m (m≤n) ⇔ A tem inversa à direita.
(2) Os sistemas Ax=b não têm mais de uma solução para todo b ⇔ rank A=n (n≤m) ⇔ A tem inversa à esquerda.
(3) Os sistemas Ax=b têm solução única para todo b ⇔ m=n e A é não singular ⇔ tem inversa à direita e à esquerda.

Mudança de base: matriz de mudança de base, mudança de coordenadas com mudança de base (vectores transformam-se contravariantemente).

Rectas, planos e planos-k (ou variedades lineares, ou espaços afins, de dimensão k) em ℝⁿ, k=0,1,...,n: definição e geometria.

Equações cartesianas de planos-k em ℝⁿ e relação com núcleo da matriz dos coeficientes de equação cartesiana Ax=b.

Referência aos 10 resultados mais importantes obtidos nas aulas até hoje:
1. Sistemas Ax=b têm 0, 1 ou ∞ soluções.
2. Sobreposição nas soluções de Ax=b.
3. Matrizes têm factorização A=PLU.
4. Ax=b tem solução única com A nxn ⇔ inversa de A existe ⇔ A tem n pivots.
5. Subconjunto S de espaço linear é subespaço linear ⇔ S≠∅ e verifica fecho da adição e da multiplicação por escalares.
6. dim R(A^t) = dim R(A) .
7. Para matrizes A mxn, rank A + nul A = n .
8. Teorema da Dimensão (provado p/ dimensão finita).
9. rank AB ≤ min{rank A, rank B} .
10. Para matrizes reais  rank A^tA = rank A = rank A^t .
(7 provados com base em ELIMINAÇÃO DE GAUSS, 2 com base no Princípio da Sobreposição, e o outro de Álgebra Linear com base em ELIMINAÇÃO DE GAUSS e em soma de quadrados de nºs reais >0 se um for >0 .

Notas históricas: antecedentes da noção de espaço linear (mecânica, coordenadas cartesianas, equações diferenciais, plano complexo, segmentos orientados, teoria da extensão, quaterniões, álgebra de vectores, independência linear, base, dimensão (Grassman 1844), análise vectorial em electromagnetismo (Gibbs 1881, Heaviside 1893); criação e consolidação da noção de espaço linear: propriedades fundamentais (Grassman 1862), axiomática para espaço linear segundo Grassman (Peano 1888), ampla aceitação da axiomática só com publicação de Théorie des opérateurs linéaires (Banach 1932); designações: "vector" e "escalar" (Hamilton para octoniões 1846), "espaço linear" (Pincherle 1901), "álgebra linear" (Weyl 1918); 1º trabalho em dim>3 (Cayley 1846), nulidade (Sylvester 1884), existência de bases para espaços lineares gerais (Hausdorff 1932),  bases de um espaço linear têm a mesma cardinalidade (Lowig 1934).

Aula prática 4

11 outubro 2019, 12:00 • Joana Ventura

Resolução de exercícios sobre espaços lineares.

13ª Aula - Continuação de exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: espaços lineares de funções xponenciais, espaço das soluções da equação diferencial y'=-ay do decaimento radioactivo, espaço das soluções da equação diferencial y''+ay=0, a>0, do oscilador harmónico linear, prova de que a dimensão do espaço das funções reais de variável real é maior ou igual a #ℝ . Característica e nulidade e sistemas de equações lineares. Característica e produto de matrizes.

10 outubro 2019, 10:00 • Luis Magalhães

Espaço linear real (de dimensão 1) das soluções da equação diferencial y'=-ay do decaimento radioactivo, 

Funções exponenciais reais de variável real u_k(t)=e^a_kt, com a_k∈ℝ , para k=1,...,n , são linearmente independentes se e só se os a_k são distintos (logo, há subconjuntos linearmente independentes no espaço linear ℝ^ℝ das funções reais de variável real com a cardinalidade dos nºs reais ( dim ℝ^ℝ ≥ #ℝ ).

Espaço linearreal (de dimensão 2) das soluções da equação diferencial my''+k²y=0 do movimento livre de massa e mola sem atrito sobre uma recta, com mola que satisfaz a Lei de Hooke da elasticidade linear e a Lei de Newton como equação do movimento.

Característica e nulidade e sistemas de equações lineares: Um sistema de equações lineares Ax=b : (1) tem solução se e só se rank A = rank [A  b] , (2)  não tem solução se e só se rank A < rank [A  b] , (3) tem solução única se e só se rank A = rank [A  b]  e  nul A=0 , (4) tem infinitas soluções se e só se  rank A = rank [A  b]  e  nul A > 0 .

Característica e produto de matrizes: 

(1) rank AB≤min{rank A, rank B}, 

(2) produto de uma matriz por matrizes não singulares à esquerda ou à direita não altera a característica da matriz, 

(3) para matrizes quadradas A , existência de inversa à esquerda implica que essa matriz também é inversa (à direita) de A , e existência de inversa à direita implica que essa matriz também é inversa (à esquerda) de A . 

12ª Aula - Revisão: T. da Dimensão, Determinação de bases dos espaços de linhas, de colunas e nulo de uma matriz mxn com eliminação de Gauss. T. de Característica e Nulidade. Continuação de exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: espaços de matrizes, espaços de polinómio, espaços com funções trigonométricas. Propriedades gerais de bases de espaço linear de dimensão finita.

10 outubro 2019, 09:00 • Luis Magalhães

Revisão: T. da Dimensão, Determinação de bases dos espaços de linhas, de colunas e nulo de uma matriz mxn com eliminação de Gauss. T. de Característica e Nulidade.

Continuação de exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: espaço das matrizes reais 2x2, espaço das matrizes reais mxn, espaço P_n dos polinómios reais de grau ≤n , com n∈ℕ (dim P_n=n+1), espaço P de todos os polinómios reais (dim P=#ℕ) , espaço C⁰([-1,1],ℝ) das funções reais contínuas definidas no intervalo [-1,1] (dim C⁰(ℝ,ℝ) =∞, dim C⁰(ℝ,ℝ) ≥ #ℕ , mas sem obter a cardinalidade, que é  #ℕ , nem identificar uma base).

Propriedades gerais de bases de espaço linear V de dimensão finita (com dimV=n<∞): 

(1) Todo S⊂V linearmente independente está contido numa base de V .

(2) Se S⊂V com #S=n  é linearmente independente, então é uma base de V , 

Exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: as funções reais de variável real definidas por sin at, cos at , com a≠0 , são linearmente independentes em ℝ^ℝ, geram um  subespaço de dimensão 2 de ℝ^ℝ; as funções reais de variável real definidas por sin²t , cos²t , 1 são linearmente dependentes, mas quaisquer duas geram um subespaço de dimensão 2 de ℝ^ℝ (cada par gera um subespaço linear diferente).

Aula prática 4

9 outubro 2019, 12:30 • Joana Ventura

Resolução de exercícios sobre espaços lineares.