17ª Aula - Revisão: Solução geral da equação ay''+by'+cy=0 , com a,b,c∈ℂ e a≠0 , no caso(1) b2-4ac>0 . Solução geral de equação diferencial linear homogénea de 2ª ordem com coeficientes constantes e aplicações físicas. Exemplos de espaços lineares reais e complexos definidos com números complexos e respectivas dimensões. Qualquer corpo pode ser considerado para escalares de espaços lineares; exemplos ℚ, ℝ, ℂ e {0,1} e observação da utilidade deste em sistemas digitais e computação. Transformações lineares: motivação, definição e imagens de combinações lineares.

17 outubro 2019, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Solução geral da equação ay''+by'+cy=0 , com a,b,c∈ℂ e a≠0 , no caso(1)  b²-4ac>0 .

Determinação da solução geral nos casos (2) b²-4ac<0 , (3) b²-4ac=0 . 

Observação a sistema mecânico de massa e mola com atrito proporcional à velocidade, com a,b,c>0 , situação em que o sistema se diz: (1) sobre-amortecido, (2) sub-amortecido, (3) criticamente amortecido, e ilustração geométrica: (1) decai para 0 sem oscilações, (2) oscila com oscilações com amplitudes que decaem para 0, (3) passa uma vez para o outro lado do equilíbrio e depois tende para 0 . O modelo mais simples de uma suspensão mecânica de mola com amortecedor, ambos lineares, e o modelo de um circuito eléctrico com uma resistência, um condensador e um inductor em série também são com esta equação diferencial.

Exemplos de espaços lineares com nºs complexos como espaços lineares reais e como espaços lineares complexos: ℂ, ℂⁿ (espaço das n-plas com componentes complexas), ℂ^S em que S≠∅ (espaço das funções com valores complexos definidas em S), C ^ℕ  (espaço das sucessões de nºs complexos), C ^[0,1] espaço das funções com valores complexos definidas no intervalo real [0,1] . Determinação da dimensão destes espaços como espaços lineares reais e como espaços lineares complexos: se S é conjunto finito, a dimensão de ℂ^S como espaço linear real é o dobro da dimensão com espaço linear complexo, dim ℂ^S; se S é conjunto infinito, dim S é conjunto finito dim ℂ^S=∞ e as dimensões de ℂ^S como espaço linear complexo ou real é a mesma (bases têm a mesma cardinalidade). 

Qualquer corpo pode ser considerado para escalares de espaços lineares; corpos infinitos conhecidos do ensino básico e secundário: ℚ, ℝ, ℂ ; além destes há outros corpos finitos e infinitos. Referência a corpos finitos: exemplo de {0,1} com soma e produto comutativos com 0+0=0, 0+1=1, 1+1=0, e 0.0=0, 0.1=0 , 1.1=1, (explicação de porque as operações são necessariamente estas) e a aplicações em electrónica, telecomunicações e computação.

Definição de transformação linear. 

Uma função entre espaços lineares com os mesmos escalares é uma transformação linear se e só se imagens de combinações lineares de vectores são as combinações lineares das imagens dos vectores com os mesmos coeficientes. 

Aula prática 5

16 outubro 2019, 12:30 • Joana Ventura

Resolução de exercícios sobre espaços lineares complexos e mudança de bases.

Aula prática 5

16 outubro 2019, 11:00 • Joana Ventura

Resolução de exercícios sobre espaços lineares complexos e mudança de bases.

16ª Aula - Revisão da definição de números complexos. Definição e exemplos de corpo. Raízes de números complexos, raízes da unidade e outros exemplos. Exponencial complexa e consequências, incluindo resolução de equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes reais ou complexos, no caso em que as raízes da equação característica são números reais distintos.

15 outubro 2019, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão da definição de números complexos. 

Definição de corpo ((X,+,.) com (X,+) grupo comutativo (X,.) com as propriedades de grupo comutativo exceptuando que 0 não tem recíproco e . é distributiva em relação a +). Observação: 0=(-0x)+0x=(-0x)+(0+0)x=(-0x)+0x+0x=0x, pelo que 1≠0 e não existe x tal que 0x=1 . Exemplos simples de corpos: ℂ, ℝ, ℚ .

Observação: ℝ² e ℂ têm os mesmo elementos considerando , ℝ² como espaço linear real dim ℝ²=1 (uma base é {(1,0), (0,1)}), considerando ℂ como espaço linear complexo dim ℂ=1 (uma base é {1}), ℂ como espaço linear real tem dimensão 2 (uma base {1,i}). ℂ considera-se como espaço linear complexo, a não ser que seja explicitado que  é considerado como espaço linear real.

Raízes inteiras de complexos (cada complexo ≠0 tem k raízes de ordem k∈ℤ). Raízes da unidade. Exemplos de determinação algébrica e gráfica de raízes inteiras positivas de nºs complexos.

Definição de exponencial complexa a partir das propriedades elementares: 

(1) e ^x+i0=e^x para x∈ℝ ; 

(2) e^z+w=e^ze^w; 

(3) (d/dy) e^zy=ze^zy, com y∈ℝ . 

Logo, e^x+iy=e^xe^iy=e^x(cos y + i sin y), como consequência da solução geral da equação diferencial do oscilador harmónico linear. 

Observação: A exponencial complexa unifica a função exponencial real  com as funções trigonométricas coseno e seno. A restrição da parte real da exponencial complexa ai eixo real é a exponencial real e^x, a restrição ao eixo imaginário é cos y em cada ponto iy , a restrição da parte imaginária da exponencial complexa ao eixo real é 0 e ao eixo imaginário é sin y , o gráfico da parte imaginária é a translação do gráfico da parte real de iπ (paralelamente ao eixo imaginário).

Observação 1=e^i2π relaciona entre si 5 nºs introduzidos em contextos diferentes: elemento neutro da multiplicação, base dos logaritmos naturais, unidade imaginária, soma da unidade consigo própria, área do círculo de raio 1.

Exemplo: Aplicação de números complexos à resolução da equação diferencial ay''+by'+cy=0 , com a,b,c∈ℂ , a≠0 : o conjunto das soluções S é espaço linear, soluções exponenciais y(t)=e^zt se e só se az²+bz+c=0 (equação característica da equação diferencial), ou seja se e só se z=[-b±( b²-4ac)^1/2]/2a . 

No caso de b²-4ac>0 as duas raízes z_1, z₂∈ℝ:, y₁(t)=e^z₁t e y₂(t)=e^z₂t,são soluções linearmente independentes, e considerando soluções da forma y(t)=e^z₁tx(t) obtém-se y∈L({y₁,y₂}) ; logo, dim S=2 e a solução geral da equação diferencial é y(t)=c₁e^z₁t+ c₂e^z₂t.com c₁ c₂ constantes complexas arbitrárias.

15ª Aula - Geometria das soluções de sistemas de equações lineares. Relação das componentes de um vector num espaço de dimensão finita com uma mudança de base, através da correspondente matriz de mudança de base. Revisão de números complexos: definição, representação geométrica, propriedades algébricas fundamentais, representação polar, representação geométrica da soma e do produto, potências inteiras. dim ℂ=1 como espaço linear complexo.

14 outubro 2019, 12:00 • Luis Magalhães

Geometria das soluções de sistemas de equações lineares em termos de planos-k (sistemas com soluções e sem soluções; sistemas com 0, 1, infinitas soluções; conjunto das soluções).

Mudança de base em espaço de dimensão finita. Se S é a matriz de mudança de uma base ordenada (u₁,...,u_n) para uma base ordenada (v₁,...,v_n) de um espaço linear V com escalares em |K (ℝ ou ℂ), i.e. S=[s_ij] com s_ij a componente-i na 1ª base do elemento  v_j da 2ª base, e x, y∈|Kⁿ é a n-pla as componentes de um mesmo vector, resp., na 1ª e na 2ª base, estas componentes transformam-se com a mudanºça de base por y=S^-1x (diz-se contravariantemente).

Exemplo simples de matriz de mudança de base com permutação da base canónica de ℝⁿ.

Revisão de nºs complexos: definição (concreta) como conjunto ℂ de pares ordenados de nºs reais com a soma de ℝ² e o produto (a₁,b₁)(a₂,b₂)=(a₁a₂-b₁b₂,a₁b₂+a₂b₁), observação de que as propriedades algébricas desta soma e produto de nºs complexos são as mesmas das da soma e produto de nºs reais (ℂ como ℝ ou ℚ com a soma é um grupo comutativo, e o produto é comutativo, associativo, distributivo em relação à soma, tem elemento neutro (1,0) (a unidade) e cada complexo (a,b)≠0 tem recíproco (a,b)^-1=(a,-b)/(a²+b²) , como para o produto em ℝ ou ℚ ; i.e. são algebricamente corpos). (c,0)(a₁,b₁)=(ca₁,cb₁) pelo que o nº complexo (c,0) identifica-se com o nº real  c  e a multiplicação por escalares de ℝ² está implícita na multiplicação de complexos, representação geométrica dos complexos num plano e da adição de complexos (como em ℝ²). Definição de unidade imaginária i=(0,1) .

Representação polar de nºs complexos (r cos θ , r sin θ ) : módulo, argumento, argumento principal ( θ∈]-π,π] ) . Passagem de representação polar para cartesiana e vice versa. O argumento do produto é a soma dos argumentos das parcelas e o módulo é o produto dos módulos. Determinação gráfica do produto de complexos. Potências inteiras de complexos (com expoente negativo para z∈ℂ\{0}), 

Consequência: 
Uma base do espaço linear (real) ℝ² é ((1,0),(0,1)) e dim ℝ²=2 .
Uma base do espaço linear complexo ℂ é (1,0) , pois z=z(1,0) para todo z∈ℂ e, portanto, L({(1,0)})=ℂ . Logo dim ℂ=1, como espaço linear complexo.
Apesar de tanto ℝ² como ℂ serem constituídos pelos pontos do mesmo plano, multiplicação de um ponto ≠0 por escalares reais apenas os afasta ou aproxima de 0 com possível reflexão em relação a 0 sobre a mesma recta, multiplicação por escalares complexos além disso roda o resultado em torno da orgem de um ângulo igual ao argumento do escalar (dois movimentos independentes no plano).