22ª Aula - Revisão e continuação da prova de imagens de circunferências com centro em 0 em ℝ2 por transformações lineares em ℝ2 invertíveis são elipses ou circunferências com cenro em 0. Prova que L(V,W) é espaço linear. Prova que composições de transformações lineares, quando possíveis, são transformações lineares. Potências inteiras positivas ou 0 de transformação linear num espaço linear e potências inteiras no caso da transformação linear ser invertível. Representações matriciais da composição de transformações lineares entre espaços de dimensão finita.

29 outubro 2019, 10:00 • Luis Magalhães

Proposição: Se T∈L(ℝ²,ℝ²) a imagem de um circunferência com centro em 0 por T é uma elipse ou uma circunferência con centro em 0 se T é invertível, e é 0 ou um segmento de recta com ponto médio em 0 se T não é invertível, conforme rank A=0 ou rank A=1, em que A é a representação matricial de T numa base de ℝ².
(continuação da dem.) A=[aij] representação matricial de T na base canónica, B=(A ^-1) ^tA ^-1=[b _ij], a imagem da circunferência com centro 0 e raio r é b ₁₁X ²+2b ₁₂XY+b ₂₂Y ²=r ², em que b ₁₁=(a ₁₁) ²+(a ₂₁) ²≥0 , b ₂₂=(a ₁₂) ²+(a ₂₂) ²≥0 , b ₁₂=a ₁₁a ₁₂+a ₂₁a ₂₂. Falta o caso b ₁₂≠0 . Convém mudar de base para diagonalizar B . Valores próprios  λ₁, λ ₂ são as soluções de λ ²-(b ₁₁+b ₂₂)λ+b ₁₁b ₂₂-(b ₁₂) ²=0. (b ₁₁+b ₂₂) ²-4[b ₁₁b ₂₂-(b ₁₂) ²]=(b ₁₁-b ₂₂) ²+(b ₁₂) ²>0. Logo  λ ₁≠λ ₂ são reais. Nas coordenadas (X',Y') numa base ( v ₁, v ₂) de vectores próprios de B associados aos valores próprios, resp., λ ₁, λ ₂, a equação da imagem da circunferência com centro 0 e raio r é λ ₁(X') ²+λ ₂(Y') ²=r ². Esta equação é de uma elipse ou circunferência com centro em 0 se λ ₁,λ ₂>0 e v ₁⊥ v ₂. Como λ ₁+λ ₂=b ₁₁+b ₂₂≥0 e λ ₁λ ₂=b ₁₁b ₂₂-(b ₁₂) ²= [(a ₁₁) ²+(a ₂₁) ²] [(a ₁₂) ²+(a ₂₂) ²]-[a ₁₁a ₁₂+a ₂₁a ₂₂] ²= [a ₁₁a _22-a ₂₁a ₂₂] ²> 0 (porque A é não singular), é λ ₁,λ ₂>0 . Pode-se escolher v ₁=(b ₁₂,λ ₁-b ₁₁) e v ₂=(b ₁₂,λ ₂-b ₁₁) . Os declives das rectas passam nestes pontos e em (0,0) são m ₁=(λ ₁-b ₁₁)/b ₁₂ e m ₂=(λ ₂-b ₁₁)/b ₁₂ . m ₁m ₂=(λ ₁-b ₁₁)(λ ₂-b ₁₁)/(b ₁₂) ²=[λ ₁λ ₂-(λ ₁+λ ₂)b ₁₁+(b ₁₁) ²]/(b ₁₂) ²=[b ₁₁b ₂₂-(b ₁₂) ²-(b ₁₁+b ₂₂)b ₁₁+(b ₁₁) ²]/(b ₁₂) ²=-1 ; logo m ₁m ₂=-1 e, portanto, v ₁⊥v ₂.

Observação: Com este resultado tem-se uma noção geométrica clara do que podem ser as deformações do plano ℝ² por uma transformação linear.

Proposição: Se V e W são espaços lineares com os mesmos escalares, L(V,W) é um espaço linear com os mesmos escalares e as operações usuais com transformações lineares definidas ponto a ponto.
V e W^V é espaço linear porque  W^V=X_a∈VX_a com X_a=W. A função 0 de V em W é transformação linear e é fácil verificar que 0∈L(V,W) e as propriedades de fecho da adição e da multiplicação por escalares..

Proposição: Se U,V,W são espaços lineares com os mesmos escalares, T∈L(U,V), S∈L(V,W)  ⇒ TS∈L(U,W) 

Definição de potências inteiras positivas T^m de T∈L(V,V) . Satisfazem T^m+n=T^mTⁿ para m,n∈ℕ∪{0} , com T⁰=1_V. Se T é invertível define-se T^-m=(T^-1)^m, logo potências inteiras positivas ou negativas e também T^m+n=T^mTⁿ para m,n∈ℤ .

Proposição: Se U,V,W são espaços lineares com os mesmos escalares de dimensão finita, T∈L(U,V), S∈L(V,W)  e M(T), M(S), M(ST) são as representações matriciais de, resp., T, S, ST em bases ordenadas, uma fixada em cada U,V,W, é M(ST)=M(S) M(T) . 

Aula prática 7

28 outubro 2019, 14:00 • Joana Ventura

21ª Aula - Revisão: Descrição geométrica e equações cartesianas canónicas de elipses e hipérboles. Idem para parábolas. Propriedades de reflexão de elipses, hipérboles e parábolas. Quádricas  no plano: elipses, parábolas, rectas concorresntes ou paralelas, 1 recta, 1 ponto e conjunto vazio. Secções cónicas. Identificação dos eixos de simetria de elipses ou hipérboles por diagonalizaçãod e matrizes. Imagens de circunferências com centro em 0 por transformações no plano: elipses, circunferências, segmentos de recta com centro em 0, ou 0 .

28 outubro 2019, 12:00 • Luis Magalhães

Revisão:  Descrição geométrica e equações cartesianas canónicas de elipses e hipérboles.

Descrição geométrica e equações cartesianas canónicas de parábolas.

Referência a que são secções planas de uma superfície cónica e que outras secções planas são circunferências, rectas concorrentes, uma recta, um ponto e conjunto vazio; ilustração geométrica.

Equação quadrática geral com termo quadrático não nulo. Redução a termos quadráticos completando quadrados e com translação da origem: b₁₁X² + 2b₁₂XY + b₂₂Y² = [X Y] B [X Y]^t com B=[bij] . Diagonalização de B com mudança da base canónica para uma base de vectores próprios dá equação cartesiana de elispse ou hiperbole.As diercções dos vectores próprios são as dos eicos de simetria e os valores próprios associados permitem calcular os eixos da cónica.

Proposição: Se T∈L(ℝ²,ℝ²) a imagem de um circunferência com centro em 0 por T é uma elipse ou uma circunferência con centro em 0 se T é invertível, e é 0 ou um segmento de recta com ponto médio em 0 se T não é invertível, conforme rank A=0 ou rank A=1, em que A é a representação matricial de T numa base de ℝ².

Dem.: (X,Y)=T(x,y) , A é representação matricial de T na base canónica e x²+y²=r² ⇒ b₁₁X² + 2b₁₂XY + b₂₂Y², em que B=[b_ij]=(A^-1)^tA^-1.  Com A^-1=[c_ij],  é b₁₁=(c₁₁)²+(c₂₁)², b₂₂=(c₁₂)²+(c₂₂)², b₁₂=c₁₁c₁₂+c₂₁c₂₂. 

Se b₁₂=0 , com B é não singular por ser produto de matrizes não singulares, é b₁₁, b₂₂>0 e a equação b₁₁X² + 2b₁₂XY + b₂₂Y² é de uma elipse ou uma circunferência com centro 0 . 

Se b₁₂≠0 , diagonaliza-se com mudança de base para reduzir ao caso precedente. det(B-λI)=0 ⇔ 0=(b₁₁-λ)(b₂₂-λ)-(b₁₂)²=λ²-(b₁₁+b₂₂)λ+b₁₁b₂₂-(b₁₂)². Como (b₁₁+b₂₂)²- 4[b₁₁b₂₂-(b₁₂)²]=(b₁₁-b₂₂)²+4(b₁₂)²>0 , os valores próprios λ₁, λ₂ são reais e diferentes, e λ₁λ₂=b₁₁b₂₂-(b₁₂)², λ₁+λ₂=b₁₁+b₂₂  (a continuar na aula seguinte).

Aula prática 6

25 outubro 2019, 12:00 • Joana Ventura

Resolução de exercícios sobre transformações lineares.

20ª Aula - Revisão: Valores e vectores próprios de transformações lineares e de matrizes, representações matriciais diagonais (diagonalização de matrizes); relação entre matrizes que representam uma mesma transformação linear em pares de bases do domínio e do espaço de chegada diferentes em termos das matrizes de mudança de base. Exemplo de obtenção de base para representação matricial diagonal de transformação linear. Exemplo de transformação linear que transforma circunferências com centro na origem em elipses. Definição, equações cartesianas e descrição geométrica de elipses e hipérboles.

24 outubro 2019, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Valores e vectores próprios de transformações lineares e de matrizes. Existência de representação matricial diagonal de T∈L(V,V) com V de dimensão finita (ou de diagonalização de matriz) se e só se existe base de V constituída por vectores próprios (nem sempre existe). Cálculo de valores próprios e de vectores próprios. Relação de representações matriciais A e A' de T∈L(V,W), com V e W de dimensão finita, com mudanças de bases em V e em W com matrizes de mudança de bases, resp., S_V e S_W : A'=(S_W)^-1AS_V .

Exemplo de transformação linear em ℝ² com representação matricial diagonal e de cálculo de uma correspondente base e dos elementos na diagonal principal, ou seja de 2 vectores próprios linearmente independentes e dos valores próprios associados.

Exemplo de transformação linear em ℝ² que transforma circunferências com centro na origem em elipses com centro na origem.

Definição e equações cartesianas standard ou canónicas (eixos de simetria coincidentes com eixos coordenados) de elipses (x²/a²+ y²/b²=1) e de hipérboles  (x²/a²- y²/b²=±1) . Rectas assímptotas, eixo real e eixo transverso e ilustração geométrica. Se o centro não está na origem e/ou os eixos de simetria não são eixos coordenados ortogonais, as equações cartesianas não são as canónicas: Com uma translação da origem de coordenadas para o centro da elipse ou hipérbole e uma mudança de base (rotação) para uma base de vecores com as direcções dos eixos de simetria (a determinar calculando vectores próprios de uma matriz) obtêm-se coordenadas em que a equação cartesiana é canónica.