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43ª Aula - Aula facultativa. Matriz companheira de um polinómio. Prova do T. Fundamental da Álgebra. Valores próprios de matrizes companheiras têm m.g. 1; solução geral de equação diferencial ordinária escalar de ordem n com coeficientes constantes. Matrizes nxn reais ou complexas são semelhantes se e só se têm a mesma forma canónica de Jordan a menos de permutação de blocos de Jordan. Extremos da restrição de formas quadráticas à superfície esférica unitária em dimensão finita e valores e vectores próprios.
19 dezembro 2019, 10:00 • Luis Magalhães
(A aula é facultativa porque o último teste da disciplina foi marcado pela gestão do IST para o Sábado passado, pelo que não é possível leccionar matéria para avaliação.)
Observação: Na aula anterior deu-se uma prova directa de que toda matriz quadrada real ou complexa tem pelo menos um vector próprio complexo. É uma prova muito simples porque só requer: (1) Desigualdade de Cauchy-Schwarz para o produto interno canónico em ℂn; (2) produtos de matrizes; (3) condição necessária para função f real de variável C2 ter extremo num ponto interior a um intervalo em termos de f' e f''; (4) T. de Weierstrass para extremos de funções contínuas em subconjuntos limitados e fechados de ℂn (que pode ser provado analogamente a uma prova do caso de funções reais de variável real). Esta prova foi obtida há 2 anos e é a mais simples que existe. Uma consequência imediata é a prova do T. Fundamental da Álgebra, pelo que se obtém assim a prova mais simples deste teorema.
T. Fundamental da Álgebra: Todo polinómio real ou complexo não constante tem pelo menos uma raiz complexa.
(Dem.: Um polinómio de grau n com coeficiente (-1)n do termo de ordem n é o polinómio característico da matriz companheira do polinómio. Como esta matriz tem pelo menos um valor próprio complexo, também o polinómio tem pelo menos uma raiz complexa.)
Resolução de equações diferenciais ordinárias escalares de ordem n com coeficientes constantes y(n)+am-1y(n-1)+ ... + a1y'+a0y=0: Redução a um sistema de equações diferenciais de 1ª ordem com matriz de coeficientes companheira x'=Cx com x=(y,y',y'',...,y(n-1)) e C a matriz companheira do polinómio característico da equação diferencial.. A multiplicidade geométrica de cada valor próprio de uma matriz companheira é 1. Se os valores próprios distintos são λ1, ..., λk com ma(λj)=mj , a solução geral da equação diferencial é y(t)=∑j∑s=0n-1cjstseλjt com cjs∈ℂ . Logo, o espaço de soluções tem dimensão n . Se os coeficientes da equação diferencial são reais a solução geral real é a parte real (ou complexa) da solução geral complexa.
Teorema: Matrizes reais ou complexas nxn são semelhantes se e só se têm a mesma forma canónica de Jordan a menos de permutação de blocos.
(Dem.: Sem perda de generalidade, basta provar que formas canónicas de Jordan com valor próprio 0 são semelhantes se e só se as ordens dos resp. blocos de Jordan são as mesmas a menos de permutação de blocos. Se nj é a ordem de um desses blocos de Jordan Jj, rank (Jj)p=nj-p, de que se obtém que o nº de blocos de Jordan de ordem p é gp=rank(Jj)p-1- 2 rank(Jj)p+ rank(Jj)p+1, que é invariante sob semelhança de matrizes.)
Os valores próprios de uma matriz hermitiana são valores assumidos pela forma quadrática Q dessa matriz em vectores da superfície eférica S com raio 1 e centro 0 . Se a forma quadrática não muda de sinal, então anula-se precisamente nos vectores do espaço nulo da matriz. O máximo (resp., mínimo) da restrição de Q a S é o valor próprio máximo (resp., mínimo) e é assumido no correspondente vector próprio unitário. Nos outros vectores próprios unitários a forma quadrática tem valor igual ao correspondente valor próprio e tem nesses vectores um ponto de sela. A restrição da forma quadrática ao complemento ortogonal da soma directa dos espaços próprios com valores próprios maiores (resp., menores) do que um valor próprio μ assume o valor máximo μ no(s) vector(es) próprio(s) unitário(s) associados a μ .
42ª Aula - Aula facultativa. Prova que toda matriz quadrada real ou complexa tem pelo menos um valor próprio complexo. Observações históricas sobre provas do T. Fundamental da Álgebra.
17 dezembro 2019, 10:00 • Luis Magalhães
(A aula é facultativa porque o último teste da disciplina foi marcado pela gestão do IST para o Sábado passado, pelo que não é possível leccionar matéria para avaliação.)
Teorema: Toda matriz quadrada real ou complexa A tem pelo menos um valor próprio complexo.
(Dem.: Revisão: Do T. de Weierstrass, a função fA:S1→ℝ tal que fA(x)=x*A*Ax-|x*Ax|2, com S1={y∈ℂn: ||y||=1} tem mínimo m que, da desigualdade de Cauchy-Schwarz é ≥0 com f(u)=m=0 se e só se u é vector próprio de A , pelo que resta provar que m=0 . Se fosse m=f(u)=0 seria Au=λu e λ=u*Au , pelo que este é o único candidato a valor próprio associado a u . Considera-se B=A-λI . Se B é singular, λ é valor próprio de A . Supõe-se que B é não singular. Verifica-se fB=fA, u*Bu=0 , u∈(Bu)⊥ e m=u*B*Bu . Com s=(B-1u)*Bu , z∈ℂ , |z|=1 e v=(1/||B-1u||) z B-1u , considera-se a função fv:[-1,1]→ℝ tal que fv(a)=f((1-a2)1/2u+av) . É (fv)'(0)=2 Re[u*B*Bv] . Como fv ter mínimo em a=0 , é (fv)'(0)=0 e (fv)''(a)≥0 . Logo, Re[u*B*Bv]=0 e substituindo v por iv obtém-se Im[u*B*Bv]=0 e, portanto, u*B*Bv=0 , pelo que {Bu}⊥=B({u}⊥) e B-1u∈{u}⊥. Logo, fv(a)=(1-a2)m+a2/||B-1u||2-|z+zs|2a2(1-a2) e (fv)''(a)=-2m-2|z+zs|2/||B-1u||2. Tem de ser s=0 , pois caso contrário com z=(s/|s|)1/2 seria |z+zs|=1+|s|>0 e (fv)''(a)<0 , em contradição com fv ter mínimo em a=0 ; logo, s=0 e m=0.)
Observação: Tradicionalmente a existência de valor próprio complexo de qualquer matriz real ou complexa é estabelecida com base no T. Fundamental da Álgebra que usualmente é assumido em disciplinas de Álgebra Linear sem prova. Há dois anos obtive uma prova directa elementar com Álgebra Linear da existência de vector próprio complexo, logo de valor próprio complexo, e deste resultado obtém-se facilmente uma prova do T. Fundamental da Álgebra com Álgebra Linear Elementar, que é a prova mais simples que existe. Assim, inverte-se a relação usual destes resultados.
Observações históricas sobre a prova do T. Fundamental da Álgebra:
A tentativa de prova na tese de doutoramento de Gauss em 1799 ficou incompleta porque se baseava na intersecção das curvas correspondentes a anulação das partes real e imaginária da função polinomial e não considerou todas as possibilidades de tais curvas algébricas, o que só foi resolvido em 1920 (e fortemente simplificado com Análise elementar em 2017) . Argand deu em 1806 uma tentativa de prova com Análise Complexa que ficou incompleta porque usava o T. de Weierstrass em ℂ , o que só ficou estabelecido em 1904 com trabalho de Fréchet. Gauss apresentou um outro argumento em 1816 baseado em manipulações algébricas elaboradas e no T. de Bolzano para funções reais de variável real (provado por Bolzano no ano seguinte) que também ficou incompleta até números complexos e números reais serem finalmente definido por Cantor em 1872 e esta prova é a 1ª que ficou completa, pelo que esta foi a 1ª prova do T. Fundamental da Álgebra a ficar completa, em 1872. Depois foram dadas várias outras provas.
A 1ª prova baseada em Álgebra Linear foi dada por Derksen em 2003 com propriedades de espaços próprios de matrizes comutáveis, decomposição de matrizes em partes hermitiana e não hermitiana, o T. de Característica e Nulidade, a fórmula resolvente de equações polinomiais do 2º grau e indução.
A prova que se apresentou, obtida há 2 anos, é muito mais simples, pois só usa a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, produtos de matrizes, a condição necessária de ponto de mínimo de função real de variável real C2 de 1ª derivada nula e 2ª derivada >= 0 , além do T. de Weierstrass de extremos de funções contínuas em subconjuntos limitados e fechados de ℂn que tem prova simples idêntica a como se pode provar para subconjuntos de ℝ e a afirmação do T. de Weierstrass de extremos de funções contínuas em subconjuntos de ℝ pode substituir o axioma do supremo na definição dos números reais como corpo ordenado com o axioma do supremo, pelo que é uma propriedade minimalista de definição de números reais, imprescindível para qualquer prova do T. Fundamental da Álgebra. Após 2 séculos obteve-se uma prova elementar algébrica, sem utilização de funções transcendentes, e com base em Álgebra Linear simples, e trouxe-se para a Álgebra Linear a prova de existência de valor próprio complexo de qualquer matriz quadrada real ou complexa.