14ª Aula - Revisão: Característica e produto de matrizes. - Invertibilidade de matrizes à direita e à esquerda e relação com sistemas de equações lineares e característica da matriz. Planos-k em Rn: subespaços lineares de  Rn

16 outubro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Teoremas e provas:
(1) rank AB≤min{rank A, rank B}, 
(2) Produtos por matrizes não singulares (com dimensões compatíveis) não alteram a característica de uma matriz, 
(3) P matrizes quadradas A , existência de inversa à esquerda implica que essa matriz também é inversa (à direita) de A , e existência de inversa à direita implica que essa matriz também é inversa (à esquerda) de A . 

Teorema: Para qualquer matriz A , rank A^tA = rank A = rank A^t .

Teorema: Se A é matriz mxn,
(1) Os sistemas Ax=b têm solução para todo b ⇔ rank A=m (m≤n) ⇔ A tem inversa à direita.
(2) Os sistemas Ax=b não têm mais de uma solução para todo b ⇔ rank A=n (n≤m) ⇔ A tem inversa à esquerda.
(3) Os sistemas Ax=b têm solução única para todo b ⇔ m=n e A é não singular ⇔ tem inversa à direita e à esquerda.

Mudança de base: matriz de mudança de base, mudança de coordenadas com mudança de base (vectores transformam-se contravariantemente).

Rectas, planos e planos-k (ou variedades lineares, ou espaços afins, de dimensão k) em ℝn, k=0,1,...,n: definição e geometria.