13ª Aula - Continuação de exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: espaços lineares de funções trigonométricas e exponenciais, espaço das soluções da equação diferencial y'=-ay do decaimento radioactivo,  espaço das soluções da equação diferencial y''+ay=0, a>0, do oscilador harmónico linear, prova de que a dimensão do espaço das funções reais de variável real é maior ou igual a #ℝ . Característica e nulidade e sistemas de equações lineares. Característica e produto de matrizes.

15 outubro 2018, 12:00 • Luis Magalhães

Exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: as funções reais de variável real definidas por sin at, cos at , com a≠0 , são linearmente independentes em ℝ^ℝ, geram um  subespaço de dimensão 2 de ℝ^ℝ; as funções reais de variável real definidas por sin²t , cos²t , 1 são linearmente dependentes, mas quaisquer duas geram um subespaço de dimensão 2 de ℝ^ℝ (cada par gera um subespaço linear diferente).

Espaço linear real (de dimensão 1) das soluções da equação diferencial y'=-ay do decaimento radioactivo, 

Funções exponenciais reais de variável real u_k(t)=e^a_kt, com a_k∈ℝ , para k=1,...,n , são linearmente independentes se e só se os a_k são distintos (logo, há subconjuntos linearmente independentes no espaço linear ℝ^ℝ das funções reais de variável real com a cardinalidade dos nºs reais ( dim ℝ^ℝ ≥ #ℝ ).

Espaço linearreal (de dimensão 2) das soluções da equação diferencial my''+k²y=0 do movimento livre de massa e mola sem atrito sobre uma recta, com mola que satisfaz a Lei de Hooke da elasticidade linear e a Lei de Newton como equação do movimento.

Característica e nulidade e sistemas de equações lineares: Um sistema de equações lineares Ax=b : (1) tem solução se e só se rank A = rank [A  b] , (2)  não tem solução se e só se rank A < rank [A  b] , (3) tem solução única se e só se rank A = rank [A  b]  e  nul A=0 , (4) tem infinitas soluções se e só se  rank A = rank [A  b]  e  nul A > 0 .

Característica e produto de matrizes: 

(1) rank AB≤min{rank A, rank B}, 

(2) produto de uma matriz por matrizes não singulares à esquerda ou à direita não altera a característica da matriz, 

(3) para matrizes quadradas A , existência de inversa à esquerda implica que essa matriz também é inversa (à direita) de A , e existência de inversa à direita implica que essa matriz também é inversa (à esquerda) de A .