Aula facultativa: Prova de toda matriz quadrada real ou complexa ter pelo menos um valor próprio complexo. Prova do Teorema Fundamental da Álgebra.

18 Dezembro 2018, 10:00 Luis Magalhães

A aula é facultativa porque o último teste da disciplina foi marcado pela gestão do IST para o Sábado passado, pelo que não é possível leccionar matéria para avaliação.

As provas apresentadas são com Álgebra Linear simples, com base num resultado obtido há cerca de 9 meses. 

Tradicionalmente, o 1º resultado é provado com o Teorema Fundamental da Álgebra e este é usualmente provado mais tarde com Análise Complexa ou Topologia.A prova apresentada é uma prova directa com Álgebra Linear, baseada simplesmente na Desigualdade de Cauchy-Schwarz em ℂ n e produtode matrizes. Naturalmente também usa a definição de número complexo, logo de número real, recorrendo ao Teorema de Weierstrass de existência de mínimo e máximo de funções continuas com valores reais definidas em subconjuntos limitados e fechados de ℂ n (num corpo ordenado, o axioma do supremo é equivalente a este Teorema de Weierstrass, o seja a definição dos números reais como corpo ordenado com o axioma do supremo poderia ser substituída por corpo ordenado com este Teorema de Weierstrass). Assim o que se usa fora de Álgebra linear simples é a definição de número real e de número complexo.

Deste modo, obtém-se o Teorema Fundamental da Álgebra como consequência directa da existência de valor próprio complexo de qualquer matriz quadrada real ou complexa, o que dá uma prova do Teorema Fundamental da Álgebra com Álgebra Linear simples, desconhecida até Fevereiro de 2018. 

A 1ª prova baseada em Ágebra Linear foi em 2003 por H. Derksen, mas requer propriedades de valore e vectores próprios de matrizes comutáveis, espaços de transformações hermitianas e antihermitianas e manipulações mais elaboradas. Em Outubro de 2013 foi publicada por J.V. Schaftingen uma 2ª prova baseada em Álgebra Linear mais simples, mas a prova apresentada, obtida em Fevereiro dete ano, é mais elementar e mais simples.

Com estes resultados traz-se a existência de valor próprio complexo de matrizes quadradas reais ou complexas para o âmbito estrito da Álgebra Linear e dá-se uma prova do Teorema Fundamental da Álgebra com Álgebra Linear simples, resultado que no IST era tradicional ser provado na disciplina de Análise Complexa e Equações Diferenciais do 2º ano.