32ª Aula - Revisão: ortogonalidade de seno e coseno com períodos 2π/n com n∈ℕ e da função constante 1, espaços euclidianos de sucessões reais ou complexas ℓ2. Polinómios trigonométricos de Fourier e aproximações óptimas de funções por polinómios trigonométricos. Se S é subespaço de um espaço euclidiano V, S⊂S⊥⊥; se V=S⊕S⊥ é S⊥⊥=S (sempre se S ou S⊥ tem dimensão finita; se S e S⊥ têm dimensão finita pode ser S⊥⊥⫋S e V≠S+S⊥. É sempre S⊥=S⊥⊥. Produto externo em ℝ3: definição e propriedades básicas.

27 Novembro 2018, 10:00 Luis Magalhães

Revisão:
(1) No espaço euclidiano C 0([0,2π],ℝ)) com <f,g>=∫ 0 fg  o conjunto {φ j: j∈ℕ∪{0}}, em que φ 0(t)=1/(2π) 1/2, φ 2k(t)=cos(kt)/(π) 1/2 , φ 2k-1(t)=sin(kt)/(π) 1/2é ortonormal. 
(2) O espaço ℝ  das sucessões de termos reais com <{u n},{v n}>=∑ n=1 u nv n=lim m→+∞m n=1 u nv n não é espaço euclidiano porque a sucessão de somas parciais pode não ser convergente e, portanto, não dar números reais (e.g. sucessão com todos termos 1). Contudo essa sucessão é convergente se ∑ n=1 |u n| 2 é convergente, e o subespaço linear ℓ 2 destas sucessões é espaço euclidiano com produto interno definido como indicado.
(3) Análogo em ℓ 2⊂ℂ  com <{u n},{v n}>=∑ n=1 u n v n .

Aproximações óptimas de funções reais contínuas num intervalo limitado e fechado por polinómios trigonométricos de Fourier: polinómiotrigonométrico de ordem n,  polinómio de Fourier de função f, referência a séries de Fourier e à respectiva importância em aplicações e teoria.  

Se V é espaço euclidiano e S é subespaço linear de V, então S⊂S⊥⊥.

Se V é espaço euclidiano e S é subespaço linear de V, então V=S⊕S⇒S⊥⊥=S . 

Se dim S ou dim S é finita, então V=S⊕S e, portanto, S⊥⊥=S . Se dim S e dim S é infinita, então pode ser V≠S⊕S e S⊥⊥≠S , ou seja pode ser S⫋S⊥⊥.

No espaço real euclidiano ℓo subespaço U das sucessões com um nº finito de termos não nulos é tal que U={0}, U⊥⊥=ℓ2≠U , U+U≠ ℓ2.

Nota: Apesar de poder ser S⊥⊥⫋S (só possível se S e S têm dimensão infinita), é sempre S⊥⊥⊥=S

(dem.: S⊂(S).⊥⊥=S⊥⊥⊥ e x∈S⊥⊥⊥⇒ x⊥S⊥⊥⇒ x⊥S pois S⊂S⊥⊥ . Logo, x∈S⊥⊥⊥⇒x∈S, ou seja  S⊥⊥⊥ ⊂S. Portanto, S⊥⊥⊥=S).

Produto externo em ℝ3: definição, propriedades fundamentais antisimetria, (antisimetria, linearidade em cada parcela com a outra fixa -- bilinearidade, ortogonalidade a cada parcela no produto interno canónico, igualdade do quadrado da norma à diferença dos quadrados dos dois lados da desigualdade de Cauchy-Schwarz com o produto interno canónico, que é equivalente à norma ser a área do paralelogramo que tem as parcelas como arestas), descrição geométrica do produto externo.