31ª Aula - Matrizes de Gramm. Matrizes simétricas, hermitianas, definidas e semidefinidas (positivas e negativas), indefinidas. Caracterização dos produtos internos em espaços lineares reais ou complexos de dimensão finita por matrizes hermitianas definidas positivas. Determinação se matriz é de um dos tipos considerados por eliminação de Gauss e pivots. Continuação de exemplos sobre espaços eucidianos: ortogonalidade de seno e coseno com períodos 2π/n com n∈ℕ e da função constante 1, espaços euclidianos de sucessões reais ou complexas ℓ2. 

26 Novembro 2018, 12:00 Luis Magalhães

Matrizes de Gramm de múltiplo ordenado de vectores de espaço euclidiano. Matrizes simétricas, hermitianas, definidas positivas (resp. negativas), semidefinidas positivas (resp. negativas), indefinidas. Prova de que matrizes de Gram são simétricas para espaços euclidianos reais (resp. hermitianas para espaços lineares complexos) e são definidas positivas.

Caracterização dos produtos internos em espaços lineares reais ou complexos de dimensão finita: são da forma <x,y>=Y*GX , com G matriz hermitiana (i.e. G=G*) definida positiva (i.e.Z*GZ>0 para todas matrizes coluna Z≠0 ), em que X,Y são as matrizes coluna com as componentes de, respectivamente, x,y numa base ordenada do espaço; G é a matriz de Gram dos vectores da base.

Uma matriz hermitiana é definida positiva se e só se é regular e a eliminação de Gauss (sem troca de linhas) dá pivots >0 em todas as linhas (e colunas). [Prova com a factorização triangular obtida com eliminação de Gauss e respectiva unicidade]. Resultados análogos para matrizes definidas negativas (pivots <0 em todas as linhas e colunas), semidefinidas positivas (pivots >0 possivelmente menos do que o nº de linhas ou colunas), semidefinidas negativas (pivots <0 possivelmente menos do que o nº de linhas ou colunas), e indefinidas (pivots <0 e >0 possivelmente menos do que o nº de linhas ou colunas).

Continuação de exemplos cm espaços euclidianos:

(1) Revisão: No espaço euclidiano C0([0,2π],ℂ)  com o produto interno ∫[0,2π]g  o conjunto de funções {eikt/(2π)1/2: k∈ℤ } é ortonormal. 
Em consequência, das propriedades de produto interno, {1/(2π)1/2, [sin(kt)]/(π)1/2, [cos(kt)]/(π)1/2: k∈ℕ } é ortonormal em C0([0,2π],ℂ) e em C0([0,2π],ℝ) com o produto interno dado.

(2) Espaço euclidiano de sucessões de termos reais S⊂ℝ. Uma ideia natural para produto interno é <{un},{vn}> = limm→+∞n=1,...munv, mas é preciso que S seja tal que este limite seja um número real, o que não acontece para todas as sucessões, e.g. ambas as sucessões com todos termos 1. Da Desigualdade de Cauchy-Schwarz em ℝm, ∑n=1,...m|un||vn| ≤ [∑n=1,...m|un|2n=1,...m|vn|2]1/2, pelo que a sucessão no lado esquerdo da desigualdade é crescente e é majorada (logo, convergente para um número real) seas sucessões ∑n=1,...m|un|2 e ∑n=1,...m|vn|2 são convergentes. Portanto, convém escolher S={{un}∈ℝ: {∑n=1,...m|un|2}m∈ℕ é uma sucessão convergente}. Como ∑n=1,...m|un||vn| é convergente se e só se ∑n=m+ℕ|un||vn|→0 quando m→0 , o que implica 0 ≤ |∑n=m+ℕunvn| ≤ ∑n=m+ℕ|un||vn| e, portanto ∑n=m+ℕunvn é convergente. <{un},{vn}> é linear no 1º factor com o 2º fixo devido à linearidade de somas finitas e limites, é simétrico devido à comutatividade do produto de reais e é >0 se e só se {un}≠0 . Portanto, <{un},{vn}> é um produto interno em S e S é um espaço euclidiano, designado ℓ2

(3) É análogo para S⊂ℂℕ com <{un},{vn}> = limm→+∞n=1,...munvn,