35ª Aula - Revisão: Matriz de cofactores e fórmula para a inversa de matriz não singular em termos de determinantes. Regra de Cramer para resolução de sistemas de n equações lineares com n incógnitas. Revisão: Definição de valor e vector próprio. Espaço próprio, multiplicidade geométrica de valor próprio. Polinómio característico de matriz e relação com valores próprios da matriz e de transformações lineares que a matriz representa, multiplicidade algébrica de valor próprio. Propriedades de polinómios característicos. Toda transformação linear num espaço linear complexo tem pelo menos um valor próprio e toda matriz real ou complexa tem pelo menos um valor próprio complexo. Exemplos de transformações lineares em espaço linear real: sem valores próprios, não diagonalizável.

4 Dezembro 2018, 10:00 Luis Magalhães

Revisão: Matriz cof A de cofactores de matriz nxn,  Aplicando a fórmula de Laplace, A(cof A)t=(det A)In . Se A é não singular, fórmula explícita para A-1 é A-1=(1/det A)(cof A)t

Para matrizes genéricas calcular inversas deste modo é muito ineficiente. Referência a aplicações da fórmula para analisar sensitividade a erros de medida ou arredondamento.

Regra de Cramer para resolução de sistemas de n equações lineares com n incógnitas com matriz de coeficientes A não singular: a solução de Ax=b é x=(x1,...,xn) com xj=(det Cj)/(det A) , em que Cj é a matriz obtida de A substituindo a coluna j por b (prova: x=A-1b=[1/(det A)](cof A)t, pelo que x= [1/(det A)] ∑kbk(cof A)kj= (det Cj)/(det A) .

Para matrizes genéricas calcular soluções deste modo é muito ineficiente. Referência a aplicações da fórmula para analisar sensitividade a erros de medida ou arredondamento. Além disso a regra e Cramer permite obter uma das incógnitas sem calcular as outras, o que em geral não é possível com eliminação de Gauss.

Revisão: Definição de valor próprio e vector próprio de transformação linear T∈L(V,W) com V e de matriz, valor próprio λ e vector próprio u associados são escalar e vector u≠0 tais que T(u)=λu com  . Os vectores próprios definem direcções do espaço invariantes sob aplicação da transformação linear ou da matriz, o svalores próprios são os correspondentes escalares de escalamento nessas direcções. Os valores próprios são os escalares para que a equação linear homogénea T(u)-λu=0 tem infintas soluções e os vectores próprios associados são as soluções u≠0 . λ escalar é valor próprio se e só se N(T-λ1U)≠{0}, u é vector próprio se e só se pertene a N(T-λ1U)\{0}. Analogamente para matrizes.

Definição: Espaço próprio de T associado a valor próprio λ é E(λ)=N(T-λ1U)≠{0} e multiplicidade geométrica de valor próprio λ é m.g.(λ)=dim E(λ) .

Se T∈L(V) e dim V=n é finita, e A é a representação matricial de T numa base de V, então λ, u são valor e vector próprios associados de T se e só se são valor e vector próprio associados de A , o que acontece se e só se pA(λ)=det(A-λIn)=0 (equação característica de A ). Chama-se a pA polinómio característico de A . 

Os valores próprios de T e de A são os zeros do polinómio característico de A que pertencem aos escalares do espaço linear V. O polinómio característico tem grau n e é da forma pA(λ) = (-1)nλ+ (-1)n-1(tra A)λn-1+ cn-2λn-2 + ··· + c1λ + det A , com cn-2, ..., ccoeficientes escalares. Do Teorema Fundamental da Álgebra (polinómios reais ou complexos não constantes têm pelo menos um zero complexo, o que falha com escalares reais) e da divisão polinomial, com escalares complexos o polinómio característico pode ser factorizado em factores lineares pA(λ)=(λ-λ1)n1··· (λ-λk)nk com λ1, ..., λk∈ℂ distintos, em que nj é chamado multiplicidade algébrica do zero λj , m.a.(λ). Em espaços lineares reais os valores próprios são os zeros reais e em espaços lineares complexos os valores próprios são os zeros complexos do polinómio característico.  Toda transformação linear num espaço linear complexo de dimensão finita tem pelo menos um valor próprio. Toda matriz real ou complexa tem pelo menos um valor próprio complexo.

T∈L(V) com dim V=n finita tem representação diagonal em alguma base de V se e só se existe uma base de V constituída por vectores próprios de T, ou seja se e só se existem n vectores próprios de T linearmente independentes, quando existem as representações diagonais têm na diagonal principal os valores próprios de T, repetidos de acordo com a respectiva multiplicidade algébrica, e bases ordenadas em que a representação é diagonal são bases constituídas por vectores próprios de T associados aos respectivos valores próprios na diagonal principal, pela ordem correspondente.

Observação: nem todas T∈L(V) com dim V=n finita têm representação matricial diagonal (i.e. nem todas as matrizes nxn são diagonalizáveis por mudança de base) e, portanto, pode não ser possível desacoplar totalmente a dependência das componentes do domínio para as imagens de T (por não existirem n vectores próprios de T linearmente independentes), mas pode-se provar que se pode sempre desacoplar todas as variáveis menos duas (cada uma e possivelmente uma adjacente).

Exemplo de transformação linear sem representação diagonal em qualquer base.

Exemplo ilustrando a diferença de considerar valores próprios em espaços lineares reais e complexos. o conjunto dos valores próprios de transformação linear em espaço linear real pode ser vazio, mas em espaço linear complexo de dimensão finita é sempre não vazio (devido ao Teorema Fundamental da Álgebra).

Se A é matriz quadrada real ou complexa det A e tra A são, respectivamente, o produto e a soma dos valores próprios complexos repetidos de acordo com multiplicidade algébrica.

Se A é matriz quadrada real, os valores próprios não reais ocorrem em pares conjugados com a mesma multiplicidade algébrica de cada par conjugado.