11ª Aula - Revisão: Expansão linear de subconjunto não vazio de expansão linear; descrição geométrica dos subespaços lineares de ℝ2 e de ℝ3. Vectores/conjuntos linearmente independentes; exemplos. Propriedades gerais de independência linear. Base e dimensão de espaço linear: definição, propriedades e exemplos. Determinação de bases dos espaços das colunas, das linhas, nulo, e propriedade de característica e nulidade para matriz em escada de linhas.

9 outubro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Expansão linear de subconjunto não vazio de expansão linear. Descrição geométrica dos subespaços lineares de ℝ² e de ℝ³.

O conjunto dos termos independentes b∈ℝ^m tais que existe pelo menos uma solução do sistema de equações lineares Ax=b , em que A é matriz mxn real, é o subespaço linear de ℝ^m gerado pelas colunas de A , a que se chama espaço das colunas de A , designado R(A) ; o sistema tem solução se e só se b∈R(A) . Chama-se espaço das linhas de A ao espaço linear gerado pelas linhas de A .

Vectores/conjuntos linearmente independentes e vectores/conjuntos linearmente dependentes: definição, exemplos de determinação se vectores dados são linearmente independentes ou dependentes (vectores em ℝ ⁿ e aplicação da resolução de sistemas de equações lineares).

Independência linear (propriedades gerais): vectores que incluam o vector 0 são linearmente dependentes; vectores que incluam um par de vectores iguais são linearmente dependentes; se alguns dos vectores considerados são linearmente dependentes, todos são linearmente dependentes; se os vectores considerados são linearmente independentes, quaisquer deles são linearmente independentes; quaisquer vectores são linearmente dependentes se e só se pelo menos um deles é combinação linear dos outros.

As colunas de uma matriz A com componentes escalares são linearmente independentes se e só se o sistema de equações lineares Ax=0 tem solução única. Quaisquer n>m vectores de ℝ^m são linearmente dependentes.

Base e dimensão de espaço linear: definição; existência e unicidade de representação de qualquer vector do espaço como combinação linear de uma base; definição de componentes ou coordenadas de vectores de um espaço numa base do espaço; bases ordenadas como sistemas de coordenadas ou de referência.

Para uma matriz em escada de linhas U, as colunas com pivots são uma base do espaço das colunas, as linhas não nulas são uma base do espaço das linhas, as dimensões destes espaços são iguais e iguais à característica da matriz; uma base do núcleo obtém-se atribuindo às incógnitas livres de Ux=0 valores 0 com excepção de uma delas a que se atribui o valor 1 e obtendo a correspondente solução desse sistema de equações lineares; a dimensão do núcleo de U , chamada nulidade de U , é o nº de colunas menos a característica.

Exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: base canónica de ℝⁿ, dim ℝⁿ=n ; uma base não canónica de ℝ² e cálculo das correspondentes componentes de qualquer vector de ℝ²; determinação de bases dos espaços das colunas, das linhas e do núcleo de matriz em escada de linhas U ; característica de U + nulidade de U = nº n de colunas de U ( rank U + nul U = n , ou seja  dim R(U) + dim N(U) = n ).