9ª Aula - Revisão: condição necessária e suficiente simples para subconjunto de um espaço linear ser subespaço linear. Exemplos de subespaços de espaços lineares.

4 outubro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Teorema: Se V é um espaço linear S⊂V é um subespaço linear de V se e só se S≠∅ e  adição e multiplicação por escalares do espaço linear V são fechadas em S (i.e estas operações com elementos de S e escalares  do  espaço linear V ão resultados em S).

Exemplos de subespaços de espaços lineares reais: matrizes triangulares, sucessões de Fibonacci, polinómios reais de grau ≤n , todos os polinómios reais, C^k(I,ℝ) conjunto das funções de intervalo I⊂ℝ em ℝ com derivada de ordem k contínua em I (k∈ℕ) , C⁰(I,ℝ) conjunto das funções contínuas de I em ℝ , C^∞ (I,ℝ) conjunto das funções indefinidamente diferenciáveis de I em ℝ  ( C^∞(I,ℝ) ⫋ ⋯ ⫋ C^k+1(I,ℝ) ⫋ C^k(I,ℝ) ⫋ ⋯ ⫋ C⁰(I,ℝ) ) , conjunto das soluções de equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem lineares com coeficientes constantes, conjunto de funções com valores reais definidas num intervalo real que têm valor 0 num ponto fixado,  conjunto N(A) das soluções de sistema de equações lineares homogéneo Ax=0 com matriz de coeficientes A , conjunto R(A) dos vectores coluna b que são termos independentes de sistema de equações lineares Ax=b para que existe solução,

Exemplos de subconjuntos de espaços lineares reais que não são subespaços lineares : matrizes com componentes racionais, pares ordenados de nºs reais com produto ≥0 , polinómios reais de grau n∈ℕ, conjunto das funções com valores reais definidas num intervalo real que têm valor diferente de 0 num ponto fixado.