39ª Aula - Revisão: Tranformações e matrizes normais e decomposição espectral de transformações normais; solução geral de sistema de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem com coeficientes constantes com matriz de ceficientes diagonal ou diagonalizável. Formas quadráticaso reais: definição, diagonalização, classificação com base em valores próprios, aplicação a equações cartesianas de quádricas. Resolução de sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares de 1ª ordem com coeficientes constantes: matriz de coeficientes não diagonalizável, exponenciais de matrizes quadradas, extensão da série de Taylor da exponencial esclara na origem a série de potências para a exponencial de matrizes.

13 dezembro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Tranformações e matrizes normais. Decomposição espectral de transformações normais. Solução geral de sistema de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem com coeficientes constantes com matriz de coeficientes diagonal ou diagonalizável.

As matrizes A hermitianas (i.e. A*=A), antihermitianas (i.e. A*=-A), unitárias (i.e. A*A=I=A*) são normais (logos, as matrizes reais simétricas, antisimétricas, ortogonais são normais).

Definição: T∈L(V) é hermitiana se <T(u),v>=<u,T(v)> para u,v∈V, é antihermitiana se <T(u),v>=-<u,T(v)> para u,v∈V, é unitária se <T(u),T(v)>=<u,v> para u,v∈V,

As transformações unitárias preservam normas e ângulos; preservam distâncias (são isometrias).

Se T∈L(V) tem representação matricial A numa base ortonormal, T é hermitiana, antihermitiana ou unitária se e só se A é, respectivamente, hermitiana, antihermitiana ou unitária.

Os valores próprios de T∈L(V) hermitianas, antihermitianas ou unitárias são, respectivamente, nºs reais, imaginários puros ou complexos de módulo 1.

Observação: Fica-se a conhecer uma classe ampla de matrizes quadradas diagonalizáveis por transformações de semelhança unitárias (que correspondem a mudanças de bases ortonormais), nomeadamente as matrizes normais, que incluem matrizes facilmente identificáveis como matrizes hermitianas, antihermitianas ou unitárias (no caso de matrizes reais, matrizes simétricas, antisimétricas ou ortogonais).

Definições: Forma quadrática real Q:ℝⁿ→ℝ , Q(z)=z^tAz=Σ_i,ja_ijz_iz_j , A matriz nxn real. Chama-se forma quadrática diagonal se A é diagonal.

Parte simétrica e parte antisimétrica de matriz quadrada real A: (A+A^t)/2, (A-A^t)/2 .

Uma forma quadrática associada a uma matriz A é igual à forma quadrática associada à parte simétrica de A.

Teorema dos eixos principais: Toda forma quadrática real é diagonalizável por uma transformação de semelhança definida por uma matriz ortogonal.

Uma forma quadrática real é definida positiva, definida negativa, semidefinida positiva, semidefinida negativa se e só se os valores próprios são, respectivamente, todos >0, todos <0, todos ≥0, todos ≤0; é indefinida se há valores próprios >0 e também valores próprios <0 .

Observação: Já se tinha visto como classificar uma forma quadrática com base nos pivots obtidos por eliminação de Gauss. Também é possível classificá-las com base em determinantes: designando por A_jj as submatrizes jxj de A com as componentes nas 1ªs j linhas e colunas, a forma quadrática é definida positiva se e só se det A_jj>0 para as n matrizes com j=1,...,n ; é definida negativa se e só se -A é definida positiva, logo se e só se (-1)^jdet A_jj>0 para  j=1,...,n ; é semidefinida positiva se e só se os determinantes de todas as submatrizes de A de todas as ordens têm determinante >0 ; é semidefinida positiva se estes determinantes são >= para ordem par e <0 para ordem ímpar da submatriz. 

Diagonalização de forma quadrática e determinação dos respectivos eixos principais (que são necessariamente ortogonais). Implicações para identificar cónicas com equações cartesianas definidas por formas quadráticas em ℝ² e superfícies quadráticas definidas por formas quadráticas em ℝ³.

Sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares de 1ª ordem com coeficientes constantes x'(t)=Ax(t) : 

Revisão: Solução geral com matrizes de coeficientes diagonal ed iagonalizável.

Solução geral com matriz de coeficientes igual a um bloco de Jordan de dimensão m .

Solução geral com matriz de coeficientes não diagonalizável,  

Exponencial e^At de matriz nxn A : definição pela solução matricial nxn X(t) de X'(t)=AX(t) com condição inicial X(0)=I_n , exemplificação de cálculo de e^At quando A é diagonal, diagonalizável e não diagonalizável, fórmula de Taylor e^At=Σ_j(At)^j/(j!) ; logo e^A=Σ_jA^j/(j!) analogamente a exponenciais de nºs reais.