38ª Aula - Revisão: exponencial de matrizes diagonais ou diagonalizáveis e redução do caso não diagonalizável a exponencial de bloco de Jordan. Adjuntas de transformações lineares em espaços euclidianos de dimensão finita. Existência de representações matriciais triangulares de transformações lineares em espaços euclidianos complexos de dimensão finita em bases ortonormais, e representações matriciais diagonais de transformações normais. Exemplo de transformações lineares com representação matricial numa base ortonormal por matriz real simétrica.

11 Dezembro 2018, 10:00 Luis Magalhães

Revisão: Exponencial de matriz diagonal, de matriz diagonalizável eredução da exponencial de matriz não dagonalizável a exponenciais de blocos de Jordan, ou seja a soluções da equação diferencial x'(t)=J. Forma canónica de Jordan.

Transformações lineares com representação matricial diagonal em alguma base ortonormal.

Considera-se um espaço euclidiano complexo V com dim V=n finita.

Para que uma matriz real ou complexa nxn A seja semelhante uma matriz diagonal U-1AU com U unitária (i.e. tal que U-1=U*, ou seja as colunas de U são ortonormais) é necessário que A*A=AA*.

Definição: chama-se matriz normal a uma matriz quadrada real ou complexa A tal que A*A=AA*.

Revisão: Ax·y=y*Ax=(A*y)*x=A*y, para x,y∈ℝn.

Definição: para T∈L(V) chama-se adjunta de T a T*∈L(V) tal que <T(u),v>=<u,T*(v)> para u,v∈V (a representação matricial de T* numa base ortonormal é a adjunta da representação matricial de T na mesma base.

Definição: T∈L(V) chama-se transformação normal se T*T=TT*.

Para T∈L(V) ter representação matricial diagonal numa base ortonormal é necessário que seja normal.

Um subespaço linear S de V é invariante (i.e. T(S)⊂S) sob T∈L(V) se e só se S é invariante sob T*.

Teorema de Schur: Toda T∈L(V) tem representação matricial triangular inferior (ou superior) em base ortonormal de V apropriada. (prova por indução na dimensão n com base na existência de pelo menos um valor próprio complexo de T* com um valor próprio u e o complemento ortogonal do espaço gerado por u ser invariante sob T e ter dimensão n-1).

Corolário: Toda matriz quadrada real ou complexa A é semelhante por transformação de semelhança por matriz unitária U apropriada a uma matriz triangular inferior e também (com outra matriz de semelhança) a uma matriz triangular superior.

Decomposição espectral de transformações normais: T∈L(V) tem representação matricial diagonal numa base ortonormal de V apropriada se e só se T é normal. Em caso afirmativo T=ΣjλjPj , em que os λj são os valores próprios de T sem repetições e as Pj são projecções ortogonais duas a duas (i.e. Pj(V)⊥Pk(v) para j≠k) (são as projecções ortogonais sobre os espaços próprios dos correspondentes valores próprios de T). (demonstração de suficiência provando que representação matricial triangular D numa base ortonormal adequada de uma ttransformação normal satisfaz ||Db||=||D*b|| para todo b∈ℂn, pelo D é diagonal).

Observação: Dispõe-se de uma classe ampla de transformações lineares em espaços euclidianos de dimensão finita que têm representação matricial diagonal em alguma base ortonormal -- as transformações normais, ou seja as transformações lineares que comutam com a adjunta. Muitas destas transformações são de identificação imediata, e.g. uma transformação linear com representação matricial numa base ortonormal por uma matriz real simétrica é obviamente normal. Na próxima aula dão-se mais exemplos.