37ª Aula - Resolução de sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares de 1ª ordem com coeficientes constantes, nos casos de matriz de coeficientes diagonal ou diagonalizável; definição de exponencial de matriz nestes casos. Formas canónicas de Jordan. Exemplos concretos de cálculo de formas canónicas de Jordan e de bases correspondentes.

10 Dezembro 2018, 12:00 Luis Magalhães

Introdução à resolução de sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares de 1ª ordem com coeficientes constantes x'(t)=Ax(t) , com x(t)∈ℝn, t∈ℝ :

Se A=diag(λ1,...λn) ,as equações são xj'(t)=λjxj(t) para j=1,...,n , com soluções gerais xj(t)=Kjeλjt, com Kj∈ℝ constantes, para j=1,...,n , e x(t)=diag(eλ1t, ..., eλntx(0) . Como se definiu funções exponenciais escalares eλt de modo a (eλt)'=λeλt  e  eλ0=1 , define-se exponencial de matriz diagonal A=diag(λ1,...λn) de modo a (eAt)'=AeAt  e  eA0=In , logo por eAt=diag(eλ1t, ..., eλnt) , e em particular eA=diag(eλ1, ..., eλn) .

Se A não é diagonal mas é diagonalizável (i.e. existe base de ℝn constituída por vectores próprios de A ), muda-se de base com matriz de mudança de base S com colunas que são vectores próprios de uma base associados aos valores próprios na ordem considerada e S-1AS=diag(λ1,...λn), resolve-se com matriz dos coeficientes diagonal, inverte-se a mudança de base e obtém-se as soluções. Nesta caso a função exponencial é  eAt= S diag(eλ1t, ..., eλnt) S-1 e eA= S diag(eλ1, ..., eλn) S-1

No caso de escalares complexos é análogo. 

e A é real e diagonalizável para uma matriz complexa, porque tem valores próprios com parte imaginária não nula, obtêm-se as soluções complexas e se se pretenderem as soluções reais consideram-se as partes real ou imaginária das soluções complexas.

Se A não é diagonalizável, tem forma canónica de Jordan e resta saber resolver o sistema de equações diferenciais no caso em que a matriz de coeficientes é um bloco de Jordan não trivial.

Definições: bloco de Jordan, forma canónica de Jordan.

Toda transformação linear T num espaço linear complexo V de dimensão finita tem representação matricial em forma canónica de Jordan J=diag(J1, ..., Jm) numa base apropriada do espaço em que cada Jj é um bloco de Jordan. 

Toda matriz quadrada real ou complexa é semelhante a uma forma canónica de Jordan.

Os valores próprios de uma matriz triangular são os elementos na diagonal principal, com multiplicidade algébrica igual ao nº de respectivas repetições. 

Observação: Há transformações lineares num espaço linear complexo V de dimensão finita cuja acção em componentes numa base de V não pode ser totalmente desacoplada componente a componente (por não terem representação matricial diagonal em qualquer base de V), mas há sempre bases tais que cada componente da imagem depende de no máximo duas componente adjacentes do domínio).

A múltiplicidade algébrica de cada valor próprio dá o nº de vezes que esse valor próprio aparece na diagonal principal da forma canónica de Jordan; a multiplicidade geométrica dá o nº de blocos de Jordan com esse valor próprio. Para formas canónicas de Jordan triangulares superiores o 1º elemento dos elementos da base correspondentes a um bloco de Jordan é um vector próprio associado ao valor próprio desse bloco. 

Uma base para a forma canónica de Jordan pode ser obtida calculando, valores próprios, respectivas multiplicidades algébrica e geométrica, espaços próprios e, para cada bloco de Jordan Jj njxnj com valor próprio λj , cadeias de vectores v1v2v3, ..., vnj que satisfazem: T(v1)=λjv1, T(v2)=λjv2+v1, T(v3)=λjv3+v2, ... , T(vnj)=λjvnj+vnj-1 , pelo que tem de ser v1∈N(T-λj1V) ∩ R(T-λj1V) , v2∈N([T-λj1V]2) ∩ R(T-λj1V) ,  v3∈N([T-λj1V]3) ∩ R(T-λj1V) , ... ,  vnj-1∈N([T-λj1V]nj-1) ∩ R(T-λj1V) , vnj∈N([T-λj1V]nj) .

Se uma matriz quadrada real tem valores próprios que não são reais, as respectivas formas canónicas de Jordan não são matrizes reais. 

Exemplos concretos de cálculo de formas canónicas de Jordan de transformações lineares e de correspondentes mudanças de base.