36ª Aula - Revisão: Polinómio característico e valores próprios. Valores próprios de matriz triangular. Invariância do polinómio característico sob mudança da base de espaço linear de dimensão finita. Definição de polinómio característico, traço e determinante de transformação linear em espaço de dimensão finita. Diagonalização de matriz com mudança da base, matrizes diagonalizantes. Vectores próprios associados a valores próprios distintos são linearmente independentes. Para transformações lineares em espaço de dimensão finita com representação matricial diagonal, as multiplicidades algébrica e geométrica de cada valor próprio são iguais. Exemplos de cálculo de valores e vectore próprios, resp. multiplicidades algébrica e geométrica, existência ou não de valores próprios reais, existência ou não de representação matricial diagonal e em caso afirmativo correspondente base e matriz de mudança de base.

6 dezembro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Polinómio característico de matriz quadrada. Os valores próprios de uma transformação linear num espaço linear real de dimensão finita são os zeros reais da equação característica e num espaço linear complexo são todos os zeros da equação característica. Uma transformação liear nu  espaço linear real pode não ter valores próprios. Num espaço linear complexo de dimensão finita tem sempre pelo menos um valor próprio. 

Os valores próprios de uma matriz triangular são os elementos na diagonal principal.

Os polinómios característicos de matrizes nxn que representam uma mesma transformação linear num espaço de dimensão finita (ou seja d ematrizes semelhantes) são iguais (i.e. tâm todos os coeficientes iguais). Polinómios característicos são invariantes sob mudanças da base do espaço. Em particular o traço e o determinante de matrizes quadradas semelhantes mantêm-ss. 

Chama-se polinómio característico (resp., traço, determinante) de uma transformação linear num espaço linear de dimensão finita ao polinómio característico (resp., traço, determinante)de uma matriz que representa a transformação linear em uma base do espaço.

Revisão:Uma transformação linear num espaço linear de dimensão finita tem representação matricial diagonal (ou uma matriz quadrada é diagonalizável) se e só se existe uma base do espaço formada por vectores próprios. A matriz diagonal numa tal base tem na diagonal principal os valores próprios, repetidos de acordo com multiplicidade algébrica e, no caso diagonalizável, as multiplicidades algébrica e geométrica de cada valor próprio são iguais.

Exemplo concreto de matriz real não diagonalizável como matriz real e sem valores próprios reais, e diagonalizável como matriz complexa e cálculo da resp. base e da matriz de mudança da base canónica para a base dos vectores próprios.

Teorema: Vectores próprios de valores próprios distintos de uma transformação linear são linearmente independentes.

Corolário: Se T∈L(V), com dim V=n finita tem n valores próprios distintos, então tem representação diagonal em alguma base (os elementos da diagonal principal são os valores próprios repetidos de acordo com multiplicidade algébrica e bases são de correspondentes vectores próprios, pela mesma ordem).

Observação: n valores próprios distintos é suficiente para existência de representação matricial diagonal, mas não é necessário (e.g. identidade).

Exemplos concretos de cálculo de polinómios característicos, valores próprios, vectores próprios, espaços próprios, multiplicidade algébrica, multiplicidade geométrica, diagonalização com mudança de base, matrizes diagonalizantes.Ilustração de diferenças em espaços lineares reais e complexos.