17ª Aula - Revisão: Determinação gráfica de raízes de números complexos, solução geral de equação diferencial linear homogénea de 2ª ordem com coeficientes constantes e aplicações físicas, síntese história dos 4 principais períodos da noção devector. Exemplos de espaços lineares reais e complexos definidos com números complexos e respectivas dimensões. Corpos; podem ser conjuntos de escalares de espaços lineares; exemplos ℚ, ℝ, ℂ e {0,1} e observação da utilidade deste em sistemas digitais e computação. Observação geral sobre corpos finitos.
23 outubro 2018, 10:00 • Luis Magalhães
Revisão: Cálculo e ilustração gráfica das raízes cúbicas de 1+i. Solução geral da equação ay''+by'+cy=0 , com a≠0 : casos (1) b2-4ac>0 , (2) b2-4ac<0 , (3) b2-4ac=0 . Observação a sistema mecânico de massa e mola com atrito proporcional à velocidade, com a,b,c>0 , situação em que o sistema se diz: (1) sobre-amortecido, (2) sub-amortecido, (3) criticamente amortecido, e ilustração geométria: (1) decai para 0 sem oscilações, (2) oscila com oscilações com amplitudes que decaem para 0, (3) passa uma vez para o outro lado do equilíbrio e depois tende para 0 .
Síntese histórica: 3 épocas de vectores:
- 1799 a 1843 (ap. 45 anos): Plano Complexo e segmentos orientados em dimensão 2 ou 3 ;
- 1843 a 1881/93 (ap. 45 anos): Quaterniões (Hamilton);
- 1881/93 a 1932 (ap. 45 anos): Álgebra e análise vectorial (Gibbs e Heaviside, para o electrmagnetismos separaram a componente escalar de quaterniões das 3 componentes vectoriais);
- 1932 até agora (ap. 85 anos): espaço linear na sequência do reconhecimento da sua grande utilidade, curiosamente em dimensão infinita (ap. 1 século depois da ideia de H. Grassmann de considerar este enquadramento para vectores). A expansão deste conceito foi fulgurante, pois 15 anos depois era ensinado a alunos dos 1ºs anos de cursos universitários de Matemática Física e Engenharia em todas as boas universidades do mundo.
Espaço linear complexo é espaço linear cujos escalares são os números complexos
Exemplos de espaços lineares com nºs complexos como espaços lineares reais e como espaços lineares complexos: ℂ, ℂn (espaço das n-plas com componentes complexas), ℂS em que S≠∅ (espaço das funções com valores complexos definidas em S), C ℕ (espaço das sucessões de nºs complexos), C [0,1] espaço das funções com valores complexos definidas no intervalo real [0,1] . Determinação da dimensão destes espaços como espaços lineares reais e como espaços lineares complexos: se S é conjunto finito, a dimensão de ℂS como espaço linear real é o dobro da dimensão com espaço linear complexo, dim ℂS; se S é conjunto infinito, dim S é conjunto finito dim ℂS=∞ e as dimensões de ℂS como espaço linear complexo ou real é a mesma (bases têm a mesma cardinalidade).
Revisão: Corpo é um conjunto não vazio com uma adição e uma multiplicação que são operações binárias internas internas, com a adição é um grupoi comutativo, com a multiplicação tem as propriedades de grupo cumutativo excepto que 0 não tem simétrico (recíproco), i.e. a multiplicação é associativa, comutativa tem elemento neutro (a identidade 1), elementos ≠0 têm recíproco, e a multiplicação é distributiva em relação à adição.
Outros escalares possíveis em espaços lineares são de corpos; corpos infinitos conhercidos do ensino básico e secundário: ℚ, ℝ, ℂ ; além destes há outros corpos finitos e infinitos, mas ℂ é o único corpo que contém ℝ e é espaço linear real de dimensão finita. Referência a corpos finitos: exemplo de {0,1} com soma e produto comutativos com 0+0=0, 0+1=1, 1+1=0, e 0.0=0, 0.1=0 , 1.1=1, (explicação de porque as operações são necessariamente estas) e a aplicações em electrónica, telecomunicações e computação.
Observação: Existe corpo finito com n elementos se e só se n é potência inteira positiva de um número ímpar. Os corpos finitos chamam-se corpos de Galois.