27ª Aula - Fórmulas com componentes em bases ortonormais de espaços euclidianos de dimensão finita, Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt e consequências. Exemplo. Matrizes ortogonais e unitárias, Factorização-QR de matrizes.

19 novembro 2018, 12:00 • Luis Magalhães

Revisão: Definição de produto interno e espaço euclidiano real e complexo.

Conjuntos ortogonais e conjuntos ortonormais em espaços euclidianos: definição, conjuntos ortogonais que não contêm o vector 0 são linearmente independentes.

Fórmulas com produtos internos e bases ortonormais de um espaço euclidiano de dimensão finita para: componentes de um vector, produto interno de vectores (Fórmula de Parseval), norma de um vector (Fórmula de Pitágoras).

Processo de ortogonalização de Gram Schmidt. Ilustração geométrica e descrição. Consequências: existências de bases ortonormadas em espaços Euclideanos de dimensão finita, 

Definição de matriz ortogonal e de matriz unitária. Observação que a inversão de uma destas matrizes é imediata, respectivamente Q^-1=Q^t e Q^-1=Q^*.

O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt em |Kⁿ (|K=ℝ ou |K=ℂ)  corresponde matricialmente à Factorização-QR de matrizes com colunas linearmente independentes (Q unitária, R triangular superior com 1s na diagonal principal). 

Revisão: O processo de eliminação de Gauss para uma matriz regular corresponde à factorização triangular A=LDU (L triangular inferior com 1s na diagonal principal, D diagonal e U triangular inferior com 1s na diagonal principal) e se A não é regular à factorização triangular a menos de permutação de linhas PA=LU (P matriz de permutação, L triangular inferior com 1s na diagonal principal, U triangular superior com 1s na diagonal principal).