33ª Aula - Revisão de produto externo: defijição, propriedades básicas, descrição geométrica. Paralelepípedo-n em Rn. Determinantes: Motivação geométrica e com propriedades do produto externo, definição axiomática com base em propriedades de volumes de paralelepípedos-n, propriedades gerais, cálculo de determinantes directamente com a definição e por eliminação de Gauss.

29 novembro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Produto externo de dois vectores de ℝ ³. Definição, 4 propriedades básicas (bilinearidade, antisimetria, ortogonalidade aos factores, quadrado da norma = à diferença dos quadrados dos 2 lados da Desigualdade de Cauchy-Schwarz). Descrição geométrica (direcção, sentido e comprimento). O produto externo de dois vectores não é 0 se e só se os vectores são linearmente independentes (não há igualdade na Desigualdade de Cauchy-Schwarz, o que equivale a independência linear dos vectores).

Propriedades do produto externo de vectores linearmente independentes (com os vectores dos factores forma um conjunto de três vectores linearmente independente, logo uma base de ℝ³; todo o vector ortogonal a dois vectores é colinear com o produto externo dos vectores). 

Observação: É possível definir um produto externo com as 4 propriedades básicas unicamente em ℝ³ e ℝ⁷.

Determinante 

Motivação com a ideia de se pretender que o valor absoluto do determinante de n vectores em ℝⁿ dê o volume-n do paralelepípedo-n com esses vectores como arestas, definição de paralelepípedo-n e ilustração geométrica do sentido de volume-n (volume-1=comprimento, volume-2=área, volume-3=volume clássico). Motivação com analogia com propriedades do produto externo (bilinearidade, anulação se os dois factores são iguais, produto externo de vectores ortonormais é 1.

Definição de determinante como função de (ℝⁿ)ⁿ em ℝ tal que: 
(1) Multilinearidade (linearidade em cada argumento com os outros fixos), 
(2) Anulação (quando dois argumentos são iguais), 
(3) Normalização (=1 quando os argumentos são a base canónica de ℝⁿ).

Propriedades gerais do determinante (=0 se um argumento =0, muda de sinal com troca de um par dos argumentos, determinante de n vectores linearmente dependentes em ℝⁿ ou ℂⁿ é 0).

Definição de determinante de matriz quadrada como sendo o determinante do múltiplo ordenado das linhas da matriz.

Exemplo: Cálculo de determinante de matrizes 2x2 directamente a partir da definição e verificação que coincide com a fórmula dada na parte inicial das aulas. Referência a que se podem calcular determinantes de qualquer ordem desta maneira, mas envolve contas excessivas.

Cálculo de determinante de matriz A nxn por eliminação de Gauss: Quando se subtrai a uma linha um múltiplo da outra (o que é uma combinação linear de linhas) o determinante não se altera. Quando se troca um par de linhas o determinante muda de sinal. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos na diagonal principal. Se são obtidos n pivots, det A = +ou- produto dos pivots, com + ou - conforme o nº de trocas de linhas foi par ou ímpar; se há menos de n pivots, há um 0 na diagonal principal e det A=0. Conclui-se: A é não singular se e só se det A é diferente de 0.