28ª Aula - Complementos ortogonais de subconjuntos de espaços euclidianos, projecções ortogonais em subespaços e decomposição ortogonal de espaços euclidianos. Continuação de exemplos de produtos internos e espaços euclidianos: ortogonalidade do seno com o coseno no espaço das funções reais contínuas no intervalo [0,2π] com o produto interno dado pelo integral do produto das funções.

20 novembro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt e factorização-QR de matrizes, matrizes unitárias e ortogonais. 

Referência à utilidade da factorização-QR em cálculo numérico (e.g. para cálculo de valores e vectores próprios e para cálculo de aproximações de quadrados mínimos), embora geralmente não calculada como indicado, mas de modo a ter um,a menor sensibilidade a erros de arredondamento. Ilustração com a resolução de sistemas de equações lineares..

Complemento ortogonal S^⊥ de subconjunto S de espaço linear V: definição, exemplos, S^⊥ é espaço linear, se S é espaço linear de dimensão finita V=S⊕S^⊥, logo fica definida uma decomposição ortogonal para vectores em V: x=x_S+x_S^⊥ com x_S em S e x_S^⊥ em S^⊥ únicos. Projecção ortogonal P sobre S, projecção complementar P^⊥ = 1_V - P , cálculo de P a partir de uma base ortonormal de S. Propriedades gerais simples: P∈L(V), P²=P, P(V)=S, P^⊥(V)=(1_V-P)(V)=S^⊥.

Continuação de exemplos de espaços euclidianos: ortogonalidade do seno com o coseno no espaço das funções reais contínuas no intervalo [0,2π] com o produto interno dado pelo integral do produto das funções.