10ª Aula - Operações de conjuntos com subespaços lineares: intersecção, produto cartesiano. Exemplos. União, soma, exemplos. Combinações lineares de vectores. Expansão linear de subconjunto de espaço linear; exemplos.

8 Outubro 2018, 12:00 Luis Magalhães

Revisão: Para que um subconjunto de um espaço linear seja espaço linear é necessário e suficiente que seja não vazio e fechado para as operações de adição e multiplicação por escalares do espaço linear. Exemplos do espaço N(A) das soluções de Ax=0 e do espaço linear R(A) dos termos independentes b para que Ax=b tem solução.

Operações de conjuntos com subespaços lineares:

(1) Intersecções de subespaços lineares de um mesmo espaço linear V são subespaços lineares de V: prova e exemplos.

(2) Produtos cartesianos de espaços lineares reais com as operações definidas componente a componente são espaços lineares reais: prova e exemplos.

     (definição de produto cartesiano de conjuntos Ua, a∈A : conjunto das funções definidas em A tal que  f(a)∈Ua)

Observação: a validade da definição de produto cartesiano de conjunto infinito de conjuntos equivale à validade do Axioma de Escolha.

Uniões de subespaços lineares de um espaço linear podem não ser um espaço linear. Soma de subconjuntos de espaço linear: definição, a soma de subespaços lineares de um espaço linear é espaço linear e é o menor subespaço linear do espaço linear considerado que contém a união dos subespaços lineares. A união de dois subespaços lineares de um espaço linear é um espaço linear se e só se um deles está contido no outro.

Combinações lineares de vectores de espaço linear: definição e exemplos. Se A é matriz mxn real, Ax é combinação linear das colunas de A com coeficientes das  colunas que são as componentes de x pela mesma ordem.

Expansão linear L(S) de ou espaço gerado por subconjunto S≠∅ de espaço linear V: definição de expansão linear de ∅ como L(∅)={0}. L(S) é um espaço linear; é o menor subespaço linear de V que contém S. 

Exemplos de expansão linear de conjuntos: ℝ2 é gerado por dois (ou mais, possivelmente infinitos com cardinalidade numerável ou não) vectores não colineares; uma recta em ℝ2 que passa em 0 é gerada por um (ou mais) vectores ≠∅ ; o espaço linear dos polinómios reais de grau ≤n∈ℕ fixo pode ser gerado por n+1 (ou mais) polinómios (apropriados); o espaço linear de todos os polinómios reais pode ser gerado por um conjunto infinito numerável de polinómios (apropriados).