Sumários

Produto interno e ortogonalidade

27 novembro 2018, 15:00 Pedro Alves Martins Rodrigues

Resolução de problemas sobre produtos internos e ortogonalidade.


AT28

27 novembro 2018, 13:00 Roger Francis Picken

Revisão da definição de um produto interno num espaço linear (real). Exemplo de um produto interno em R^3, não usual. Justificações que este produto verifica as condições da definição, usando a teoria da aula anterior sobre formas quadráticas para mostrar que verifica a condição de positividade. Definições associadas válidas para qualquer espaço euclidiano (=espaço linear com produto interno): norma de um elemento, distância entre dois elementos, ângulo entre dois elementos, ortogonalidade de dois elementos, conjunto ortogonal, conjunto ortonormal. Propriedades: desigualdade de Cauchy-Schwarz, desigualdade triangular, teorema de Pitágoras. Exemplo comparando os ângulos e comprimentos num triângulo em R^2, usando o produto interno usual e outro produto interno não usual. Interpretação. Projeção ortogonal de um elemento sobre outro elemento, e processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.


AT27

23 novembro 2018, 13:00 Roger Francis Picken

Revisão breve da diagonalização ortogonal de uma matriz real simétrica A, com matriz diagonalizante P uma matriz ortogonal.
Formas quadráticas: definição de uma forma quadrática, ou seja uma função quadrática Q de R^n em R, cuja expressão é uma combinação linear de quadrados das coordenadas e termos cruzados nas coordenadas. Cada forma quadrática está associada a uma matriz real simétrica A. O objetivo é simplificar a expressão, eliminando os termos cruzados, através de uma mudança de base e coordenadas. Isto equivale encontrar uma matriz de mudança de base P, tal que P^T A P é diagonal. A diagonalização ortogonal fornece uma abordagem sistemática para este problema, já que para P ortogonal, P^T é a inversa de P. Exemplo usando a matriz A e os cálculos da aula anterior. Discussão de outros métodos "artesanais" para diagonalizar a mesma função Q. A lei de inércia de Sylvester garante que o número de entradas positivas, negativas, e nulos é constante para cada Q, permitindo uma classificação das formas quadráticas (definida positiva, semi-definida positiva, definida negativa, semi-definida negativa, indefinida). Exemplo de uma forma quadrática em R^3.

Texto suplementar sobre Diagonalização ortogonal (fim) e formas quadráticas


diagonalização e produtos internos

22 novembro 2018, 16:30 Pedro Alves Martins Rodrigues

Resolução de problemas sobre diagonalização e produtos internos


AT26

22 novembro 2018, 13:00 Roger Francis Picken

Início do novo tópico, produtos internos, com a discussão do exemplo principal, o produto interno usual em R^n. Definição de ortogonalidade entre dois vetores, e da norma ou comprimento de um vetor. Observação sobre a definição geral de um produto interno num espaço linear real, modelada neste exemplo, e demonstração do teorema de Pitágoras neste contexto. Definição de um conjunto ortogonal e de um conjunto ortonormal em R^n com produto interno usual. Exemplo de uma base ortogonal de R^2, e da base ortonormal correspondente (dividindo cada elemento pela sua norma).
Teorema: Uma matrz real simétrica A nxn é diagonalizável como matriz real. Existe ainda uma base ortonormal de R^n, constituída por vetores próprios de A. Isto traduz-se na diagonalização ortogonal: A é diagonalizável, com matriz diagonalizante P uma matriz ortogonal (ou seja uma matriz cujas colunas são uma base ortonormal de R^n, ou equivalentemente, uma matriz cuja inversa é a sua transposta). Exemplo da diagonalização ortogonal de uma matriz 2x2. Propriedade: dois vetores próprios de A real simétrica, associados a valores próprios distintos, são ortogonais entre si.

Texto suplementar sobre diagonalização ortogonal: Diagonalização ortogonal