Sumários
31 outubro 2018, 15:30
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Roger Francis Picken
Exercícios 16, 17, 18 (com menção dos exercícios 27, 28, 30, 37) e mini-avaliação simpática.
30 outubro 2018, 16:30
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Pedro Alves Martins Rodrigues
Resolução de problemas sobre espaços lineares e vectores de coordenadas
30 outubro 2018, 15:00
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Pedro Alves Martins Rodrigues
Resolução de problemas sobre espaços lineares e vectores de coordenadas
30 outubro 2018, 13:00
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Roger Francis Picken
Revisão dos conceitos principais: espaço linear, subespaço, S (conjunto de elementos) gera W, S é L.I., S é base de W. Subespaços associados a uma matriz A: EL(A), EC(A), N(A). Justificação de alguns dos princípios da aula anterior. Se A é transformada pelo MEG em U (escada por linhas), então EL(U)=EL(A). As linhas não nulas de U (linhas com pivô) não só geram EL(U), mas são L.I., portanto constituem uma base de EL(U). Justificação através de um exemplo de que o conjunto gerador de N(A) obtido através da resolução do sistema homogéneo Ax=0, é L.I. portanto é base de N(A). Como consequência: para uma matrz A pxn com característica k, a dimensão de EL(A) é k, e a dimensão de N(A) é n-k (ou seja a nulidade de A é n-k).
Discussão geométrica de um subespaço de R^3, com indicação da sua dimensão e diferentes escolhas de base.
26 outubro 2018, 13:00
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Roger Francis Picken
Revisão das noções: um conjunto de elementos gera um espaço linear W; é L.I.; é base de W. A dimensão de W é o número de elementos numa base. Discussão do exemplo da aula anterior em que W é EC(A), o espaço das colunas de uma matriz 3x3. O conjunto cujos elementos são as 3 colunas de A gera EC(A) mas é L.D.; o conjunto com único elemento a 1ª coluna de A é L.I mas não gera EC(A); o conjunto cujos elementos são as duas primeiras colunas de A gera EC(A) e é L.I., portanto é base de EC(A), cuja dimensão é 2. Cálculo de uma base do núcleo de A, N(A), com um único elemento, assim a dimensão de N(A) é 1. Lista de princípios gerais para uma matriz pxn A, que é transformada pelo MEG numa matriz U em escada por linhas, com k pivôs (ou seja car(A)=k):
Uma base de EC(A) é dada pelas colunas de A correspondentes às colunas de U com pivô. A dimensão de EC(A) é k.
Uma base de EL(A) é dada pelas linhas de U com pivô (=linhas não nulas de U), ou então pelas linhas correspondentes de A (levando em consideração eventuais trocas de linhas).
Uma base de N(A) é obtida resolvendo a equação matricial homogénea Ax=0, escolhendo as variáveis livres correspondentes às colunas sem pivô de U, de tal modo que N(A) é o Span de um conjunto L.I. de n-k elementos. A dimensão de N(A) é n-k.
Definição da base canónica de R^n. Discussão do exercício 19b) da Lista 3, como exemplo da aplicação destes prinicípios (usando um raciocínio com EL(A) de uma matriz A apropriada).
