11ª aula prática

17 janeiro 2007, 10:00 • Ana Moura Santos

11ª Lista de Exercícios: 1, 2, 4, 6.(a),(b), 7, 9.(a), (b), 11-13, 19.(a)

Diagonalização Ortogonal de Matrizes

17 janeiro 2007, 09:00 • Ana Moura Santos

Definição e exemplos de matrizes ortogonais. Propriedades de matrizes ortogonais: as inversas, as transpostas o produto de ortogonais são matrizes ortogonais, o determinante é igual a 1 ou a -1, conservam as normas dos vectores.

Matrizes simétricas, A=A^T nxn, e problema da diagonalização ortogonal, que é equivalente ao problema da existência duma base ortonormal de ve.p. para R^n. Processo de diagonalização ortogonal de matrizes. Exemplo em R^3.

[Anton] pp. 320-322, pp.357-360

Diagonalização de Matrizes

15 janeiro 2007, 09:00 • Ana Moura Santos

Problema da existência duma base de n vectores próprios equivalente ao problema de diagonalização duma matriz A_nxn. Definição de A diagonalizável: quando existe uma matriz invertível P t.q. o produto P^(-1)AP resulta numa matriz diagonal (com os va.p. de A na diagonal). Teorema: A_nxn é diagonalizável sse existir uma base de ve.p. de A para R^n. Demonstração da necessidade. Exemplos de duas matrizes A_4x4, uma diagonalizável e outra não. Propriedade: ve.p. associados a va.p. distintos formam um conjunto L.I. Matrizes A_nxn com n va.p. distintos são diagonalizáveis. Noção de multiplicidades algébrica e geométrica.

[Anton] : pp. 338-353

12ª aula prática

12 janeiro 2007, 10:00 • Ana Moura Santos

11ª Lista de Exercícios: 1, 2, 4, 6.(a),(b), 7, 9.(a), (b), 11-13

Valores próprios e vectores próprios

12 janeiro 2007, 09:00 • Ana Moura Santos

Recordar: equação aos valores próprios e vectores próprios . Aspectos geométricos dos va.p. e ve.p. reais. Possibilidade de existirem va.p. complexos (aos pares complexo-conjugados). Teorema Fundamental da Álgebra: todo o polinómio carcterístico duma matriz A_nxn possui n raízes (podem ser repetidas e podem ser reais e/ou complexas)

[Anton] : pp. 338-344