Resolução da ficha 11 e avaliação

1 junho 2007, 16:00 • Tânia Sofia de Sousa Pedrosa Maia da Rocha

Resolução da ficha 11 e avaliação.

Aula teórica 37

1 junho 2007, 12:00 • Pedro Resende

Operador de projecção ortogonal sobre um subespaço linear de um espaço euclidiano. Propriedades: linearidade; idempotência; ser hermitiano; valores próprios e respectivas características. O operador complementar I- P dum operador de projecção ortogonal P. Fórmula de Pitágoras. Distância dum ponto a um subespaço e distância dum ponto a um plano- k. Distância entre planos- k paralelos.

Aula teórica 36

31 maio 2007, 12:00 • Pedro Resende

Transformações unitárias e matrizes unitárias. Matrizes unitárias como matrizes de mudança de base entre bases ortonormais. Matrizes ortogonais. Exemplos: rotações e reflexões em R ². Transformações unitárias como transformações lineares que preservam distâncias (isometrias). Os valores próprios duma transformação unitária e a ortogonalidade dos vectores próprios associados a valores próprios distintos. Transformações e matrizes anti-hermitianas. Existência de bases ortonormais de vectores próprios para as matrizes unitárias e para as matrizes anti-hermitianas (enunciado). Caracterização das matrizes (i) hermitianas, (ii) unitárias e (iii) anti-hermitianas como matrizes diagonalizáveis com matriz diagonalizante unitária e valores próprios (i) reais, (ii) de módulo 1 e (iii) imaginários puros, respectivamente. Referência às matrizes normais e à sua caracterização como matrizes diagonalizáveis com matriz diagonalizante unitária.

12ª aula prática

29 maio 2007, 16:00 • Jorge Manuel Amaro d' Almeida

Exercícios (ficha 11).

Aula teórica 35

29 maio 2007, 12:00 • Pedro Resende

Operadores hermiteanos. Noção de complemento ortogonal de um subespaço.

Teorema - Para qualquer operador hermiteano T existe uma base ortonormal constituída por vectores próprios de T.

Caracterização das métricas de produtos internos em espaços de dimensão finita:

Teorema - Seja A uma matriz quadrada. As seguintes afirmações são equivalentes: 1) A é uma métrica; 2) A é hermiteana e os valores próprios são todos positivos; 3) A = S ^* S para alguma matriz não-singular S.

Bibliografia: [L. Magalhães, secção 4.4 até ao Teorema 4.19, Definição 6.11-1, Teorema 6.12-1, Teorema 6.14-1, Teorema 6.16].