Planeamento
Aulas Teóricas
Números Complexos (semana 1)
Propriedades algébricas, nomeadamente adição, multiplicação e divisão. Propriedades geométricas: representações cartesianas e polares. Rectas, circunferências noções topológicas e a esfera de Riemann.
Funções Complexos (semana 2)
Transformações complexas, transformações de Möbius. Limites, Conti-
nuidade e Diferenciabilidade de funções complexas. Equações de Cauchy-Riemann em coorde-
nardes cartesianas e polares
Séries de Potências (semanas 3 e 4)
Raio de convergência de uma série de potências. Exemplos:
- Série geométrica
- Exponential complexa
- Coseno complexa
- Seno complexa.
Integrais de Funções Complexas (semana 5)
Integral de uma função complexa sobre uma curva. Teorema Fundamental do Cálculo. Teoremas de Green e de Cauchy. Índice de uma curva fechada em relação a um ponto e primitivas. Exemplo de logaritmo.
Fórmula integral de Cauchy (semana 6)
Derivadas de ordem superiores de uma função complexa diferenciável. Teoremas de Liouville e de Morera. Teorema fundamental de álgebra. Funções harmónicas e Princípio do módulo máximo
Séries de Taylor e de Laurent (semana 7)
A fórmula integral de Cauchy e séries de potências, nomeadamente a série de Taylor e a série de Laurent. Exemplos de desenvolvimentos em série de Laurent. Resíduo e classificação de singularidades isoladas. Cálculo de um integral impróprio usando integrais de contorno.
Equações Diferenciais Ordinárias (seman 8)
Campos de direcções e soluções de equações seguintes:
- Separáveis,
- Lineares,
- Exatas,
- Redutíveis a exactas,
- Homgéneas,
- Equação de Bernoulii.
Existência e Unicidade de soluções (semana 10)
Equações diferenciais e integrais. Iteradas de Picard e convergência das interadas.
Sistemas lineares de primeira ordem com coeficientes constantes (semana 11)
Revisão de álgebra linear, nomeadamente vetores linearmente independentes, matrizes, valores próprios, vetores próprios, forma canónica de Jordan. Exponential de uma matriz quadrada. Fórmula de variação das constantes.
Equações escalares de ordem superior a um (semana 12)
Equações homogéneas e não homogéneas. Polinómio característico, raízes reais,complexas, distintas e múltiplas. Método de coeficientes indetermidados, Wronskiano e Fórmula de variação das constantes. Método da redução de ordem. Equações de Cauchy-Euler. Transformada de Laplace
Séries de Fourier (semana 13)
Produtos interno, norma e ortogonalidade dos elementos. Convergência das séries de Fourier em média quadrática, pontual e uniforemente. Paridade e séries de senos e séries de cosenos.
Equações Diferenciais Parciais (semanas 14 e 15)
Método de separação de variáveis para a equação do calor com condições de Dirichlet e de Neumann. Resolução da equação das ondas pelo método de separação de variáveis. Solução de d’Alembert da equação das ondas. Resolução da equação de Laplace pelo método de separação de variáveis.