Planeamento
Aulas Teóricas
O plano complexo; série geométrica
Aritmética em \(\mathbb C\). Séries baseadas na série geométrica.
Aula prática: Funções complexas escritas em coordenadas cartesianas; séries envolvendo várias parcelas.
Secções relevantes nos apontamentos: (1.1-16).
Vídeos relevantes: O plano complexo, Séries geométricas.
Séries usando frações parciais
Séries baseadas na geométrica, mas com várias parcelas. Uso das frações parciais.
Secções relevantes nos apontamentos: (1.17-25).
Vídeos relevantes: Séries de potências para funções racionais I.
Séries geométricas e derivadas
Derivação de séries de potências termo-a-termo, caso das séries baseadas na geométrica.
Secções relevantes nos apontamentos: (1.26-29).
Vídeos relevantes: Séries de potências para frações racionais II.
Para antes da próxima aula: Isto é matemática - T07E13 - O fim do mundo, (2.1-3).
Funções geradoras e números de Fibonacci; derivadas em \(\mathbb C\)
Séries de potências e funções geradoras; aplicação aos números de Fibonacci.
Derivadas e funções holomorfas.
Aula prática: derivadas, singularidades, séries de Taylor.
Secções relevantes nos apontamentos: (2.4-13).
Videos relevantes: Séries de Taylor.
Para antes da próxima aula: (2.14), (2.15), Integrais de caminho no plano complexo.
Integrais de caminho
Integrais de caminho.
Secções relevantes nos apontamentos: (2.17-19).
Para antes da próxima aula: Estimativa de integrais no plano complexo, A fórmula de Cauchy (exemplo).
A fórmula de Cauchy; o teorema de Liouville
Primitivas termo-a-termo. A fórmula de Cauchy.
Estimativas de integrais. O teorema de Liouville.
Secções relevantes nos apontamentos: (2.16), (2.20-33).
Vídeos relevantes: O teorema dos resíduos e a fórmula de Cauchy, O teorema de Liouville, O teorema fundamental da álgebra.
Para antes da próxima aula: Isto é matemática - T01E09 - O Pi existe?, (3.1-7), A exponencial complexa e as funções trigonométricas.
Séries de Taylor e funções trigonométricas
Mais exemplos de séries de Taylor; uso da série de \(\arctan\) para determinar o valor de \(\pi\).
Aula prática: funções trigonométricas e exponencial complexa; mais exemplos de fórmula de Cauchy.
Secções relevantes nos apontamentos: (3.1-12).
Para antes da próxima aula: Coordenadas polares no plano complexo, (3.13-15).
Coordenadas polares
Algumas propriedades da exponencial e das funções trigonométricas em \(\mathbb C\).
Coordenadas polares.
Para antes da próxima aula: Potências e raízes de números complexos, (3.16-17).
Raízes e equações polinomiais
Potências e raízes no plano complexo. Equações polinomiais no plano complexo.
Vídeos relevantes: Raízes complexas e equações polinomiais.
Para antes da próxima aula: Equações trigonométricas no plano complexo, (3.18-22).
Equações trigonométricas no plano complexo
Equações trigonométricas.
Aula prática: equações trigonométricas; propriedades das raízes e logaritmos.
Secções relevantes nos apontamentos: (3.23-28).
Para antes da próxima aula: O logaritmo e as raízes no plano complexo.
Logaritmos no plano complexo
Propriedades dos logaritmos e raízes.
Para antes da próxima aula: (4.1-6), As equações de Cauchy-Riemann I, As equações de Cauchy-Riemann II.
Cauchy-Riemann e integração
Consequências das equações de Cauchy-Riemann.
Primitivação no plano complexo.
Secções relevantes nos apontamentos: (4.7-15).
Vídeos relevantes: As equações de Cauchy-Riemann III, Primitivas no plano complexo, O teorema de Cauchy.
Para antes da próxima aula: Achieving the unachievable (trailer) (do filme de Jean Bergeron sobre a litografia Galeria de Litografias de M.C. Escher), A fórmula de Cauchy (demonstração), (4.16-19).
Escher e a galeria de litografias
Funções holomorfas, conformalidade, e a solução da Galeria de Litografias de M.C. Escher.
Se quiserem ver mais sobre o assunto, explorem o site sobre a solução.
Aula prática: A fórmula integral de Cauchy. Exemplos.
Para antes da próxima aula: (4.20), (4.21), Princípios da média e do módulo máximo.Fórmula de Cauchy
A fórmula integral de Cauchy. Exemplos.
Para antes da próxima aula: (5.1-13), Séries de potências e raio de convergência, O princípio da identidade.
Existência de séries de Taylor e de Laurent
Convergência uniforme.
Existência de séries de Taylor e de Laurent.
Os princípios da média e do módulo máximo.
Secções relevantes nos apontamentos: (5.14-28).
Vídeos relevantes: Região de convergência de série de potências, Séries de potências e convergência uniforme, Existência de séries de Taylor, Existência de séries de Laurent.
Singularidades isoladas
Breve descrição das singularidades isoladas.
Aula prática: singularidades isoladas, polos, resíduos.
Secções relevantes nos apontamentos: (6.1-7).
Vídeos relevantes: Singularidades isoladas, Polos e singularidades removíveis.
Polos e singularidades essenciais
Classificação de singularidades isoladas.
Secções relevantes nos episódios: (6.8-10).
Vídeos relevantes: Singularidades essenciais, Classificação de singularidades.
Para antes da próxima aula: (6.11), (6.12), O teorema dos resíduos I, O teorema dos resíduos II.
Singularidades e resíduos
Exemplos.
Para antes da próxima aula: (6.13-18), Integrais impróprios reais, Integrais trigonométricos.
Integrais reais
Aplicações do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais reais e de séries numéricas.
Aula prática: singularidades e resíduos; integrais reais.
Aplicações do teorema dos resíduos
Mais exemplos.
Últimas dúvidas
Últimas dúvidas e exemplos antes do teste.
Equações separáveis; equações exatas.
Equações diferenciais ordinárias.
Equações separáveis.
Equações exatas.
Aula prática: métodos ad hoc, equações separáveis e exatas.
Secções relevantes nos apontamentos: (1.1) a (1.13). (Daqui em diante, trata-se dos apontamentos de equações diferenciais.)
Vídeos relevantes: Equações diferenciais (alguns exemplos), Equações separáveis, Equações exatas.
Equações redutíveis a exatas
Intervalo de definição de soluções.
Equações redutíveis a exatas. Fatores integrantes.
Secções relevantes nos apontamentos: (1.14) a (1.21).
Vídeos relevantes: Equações redutíveis a exatas I, Equações redutíveis a exatas II.
Para antes da próxima aula: (1.22) a (1.24), Equações diferenciais lineares.
Mudança de variável
Mudança de variável em equações diferenciais.
Secções relevantes nos apontamentos: (1.25) a (1.29).
Vídeos relevantes: Equações diferenciais (mudança de variável).
Mais exemplos de equações diferenciais
Mais exemplos.
Aula prática: fatores integrantes, substituição.
Para antes da próxima aula: (2.1) a (2.10), Equações diferenciais vs equações integrais, Operadores contrativos, O teorema de Picard-Lindelöf.
Existência e unicidade de soluções de EDOs
Retratos de fase. O teorema de Picard-Lindelöf.
Secções relevantes nos apontamentos: (2.11) a (2.20).
Para antes da próxima aula: Prolongamento de soluções, Prolongamento de soluções (exemplos), Comparação de soluções.
Prolongamento de soluções
Iteradas de Picard. Prolongamento de soluções. Comparação de soluções. Vários exemplos.
Secções relevantes nos apontamentos: (2.21) a (2.33).
Para antes da próxima aula: (3.1) a (3.9), Exponencial de matriz (propriedades), Exponencial de matriz diagonalizável.
Exponencial de matrizes
EDOs lineares em \(\mathbb R^n\).
Exemplos de cálculo da exponencial e de resolução de equações lineares em \(\mathbb R^n\).
Aula prática: exponencial de matrizes.
Secções relevantes nos apontamentos: (3.1) a (3.16).
Vídeos relevantes: A fórmula da variação das constantes I, Exponencial de bloco de Jordan.
Para antes da próxima aula: (3.19) a (3.23), Vetores próprios generalizados, Formas de Jordan (exemplo 4×4), Formas de Jordan (exemplo 2×2), Formas de Jordan (exemplos 3×3).
Formas de Jordan
Vários exemplos de cálculo de exponenciais usando formas de Jordan.
Secções relevantes nos apontamentos: (3.18) a (3.25).
Vídeos relevantes: Exponencial de matriz (caso geral).
Equações com coeficientes não constantes
A fórmula da variação das constantes.
EDOs lineares com coeficientes não constantes.
Secções relevantes nos apontamentos: (3.26) a (3.30).
Vídeos relevantes: A fórmula da variação das constantes II.
Para antes da próxima aula: Equações diferenciais de ordem superior, (4.1) a (4.4).
Exemplos
Exemplos de aplicações.
Prática: EDOs em \(\mathbb R^n\); equações de ordem superior.
Vídeos relevantes: A fórmula da variação das constantes II, Equações diferenciais de ordem superior.
Método alternativo: O método dos aniquiladores I, O método dos aniquiladores II, O método dos aniquiladores III, (4.5) a (4.17).
Coeficientes não constantes e wronskiana
Equações de ordem superior, relação com equações em \(\mathbb R^n\).
Equações de ordem superior com coeficientes não constantes.
A fórmula da variação das constantes e a matriz wronskiana.
Secções relevantes nos apontamentos: (4.18) a (4.21).
Vídeos relevantes: Equações de ordem superior (usando wronskiana).
Para antes da próxima aula: (5.1) a (5.8), A transformada de Laplace I.
Transformada de Laplace
Exemplos de cálculo de transformada de Laplace.
Secções relevantes nos apontamentos: (5.9) a (5.17).
Para antes da próxima aula: A transformada de Laplace II.
Resolução de EDOs usando transformada de Laplace
Resolução de EDOs.
Aula prática: transformada de Laplace e EDOs.
Secções relevantes nos apontamentos: (5.18) a (5.21).
Para antes da próxima aula: A transformada de Laplace inversa.
A transformada inversa
Cálculo da transformada inversa usando o teorema dos resíduos.
Secções relevantes nos apontamentos: (5.22) a (5.29).
Vídeos relevantes: A transformada de Laplace III.
Mais exemplos de uso da transformada de Laplace
Mais exemplos.
Para antes da próxima aula: (6.1) a (6.8), Produto interno para funções periódicas.
Séries de Fourier
Base ortogonal para funções periódicas. Séries de Fourier.
Exemplo de resolução de EDPs.
Secções relevantes nos apontamentos: (6.9) a (6.28).
Vídeos relevantes: Séries de Fourier (ideias), Séries de Fourier (exemplo), Séries de Fourier (funções pares e ímpares).
Equação do calor
A equação do calor e variantes.
Resolução de algumas EDPs usando séries de Fourier.
Secções relevantes nos apontamentos: (6.21) a (6.28).
Vídeos relevantes: Séries de Fourier e prolongamentos, Resolução de EDP com séries de Fourier.
Para antes da próxima aula: Isto é matemática - T02E09 - Boas vibrações.
Equação de ondas
Equação de ondas.
Secções relevantes nos apontamentos: (6.29) a (6.31).
Aula prática: séries de Fourier e EDPs.
Mais exemplos
Dúvidas.
Últimas dúvidas
Últimas dúvidas antes do teste.