Sumários

Diferenciabilidade de funções complexas

1 outubro 2014, 17:00 Gustavo Granja

Resolução de problemas da Ficha 3.


Harmónicas conjugadas

1 outubro 2014, 13:00 Gustavo Granja

Explicação da relação entre a diferenciabilidade complexa e real.

Definição de função harmónica.

A parte real de uma função holomorfa de classe C^2 é uma função harmónica.

Ser parte real de uma função holomorfa é o mesmo que ser parte imaginária de uma função holomorfa.

Se f=u+iv é holomorfa, v diz-se uma harmónica conjugada de u.

Exemplo: Achar as harmónicas conjugadas de u(x,y)=2xy

Prop: Se u é de classe C^2 e harmónica num aberto simplesmente conexo então é a parte real de uma função holomorfa nesse aberto.


A regra de derivação do logaritmo

30 setembro 2014, 14:00 Gustavo Granja

Uma função logaritmo é diferenciável no conjunto dos pontos onde é contínua. Explicação deste resultado no caso do logaritmo principal usando o teorema da função inversa de Cálculo 2.

Exemplo: Estudo da diferenciabilidade e cálculo da derivada da função (z^2+1)^z determinada pela escolha do logaritmo principal.


Harmónicas conjugadas

30 setembro 2014, 13:00 Gustavo Granja

Explicação da relação entre a diferenciabilidade complexa e real.

Definição de função harmónica.

A parte real de uma função holomorfa de classe C^2 é uma função harmónica.

Ser parte real de uma função holomorfa é o mesmo que ser parte imaginária de uma função holomorfa.

Se f=u+iv é holomorfa, v diz-se uma harmónica conjugada de u.

Exemplo: Achar as harmónicas conjugadas de u(x,y)=2xy

Prop: Se u é de classe C^2 e harmónica num aberto simplesmente conexo então é a parte real de uma função holomorfa nesse aberto.

Exemplo: log (x^2+y^2)^(1/2) é harmónica em R^2\{(0,0)} mas não é a parte real de uma função holomorfa em C\{0}.


A regra de derivação do logaritmo

29 setembro 2014, 13:00 Gustavo Granja

Uma função logaritmo é diferenciável no conjunto dos pontos onde é contínua. Explicação deste resultado no caso do logaritmo principal usando o teorema da função inversa de Cálculo 2.

Exemplo: Estudo da diferenciabilidade e cálculo da derivada da função (z^2+1)^z determinada pela escolha do logaritmo principal.