FenixEdu™

Disciplina

Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies

Área

Área Científica de Geometria > Geometria

Activa nos planos curriculares

GENI > GENI > 1º Ciclo > Área Principal > Percursos > Fundamentos para Matemática Aplicada > Opções 1 > Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies

MMAC 2021 > MMAC 2021 > 2º Ciclo > Área Principal > Áreas de Especialização > Área de Especialização em Matemática > Área Científica > Geometria > Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies

Nível

Séries de Exercícios e/ou Exame Final, eventualmente complementados com exposições orais.

Tipo

Não Estruturante

Regime

Semestral

Carga Horária

1º Semestre

Trabalho Autónomo: 119.0 h/semestre

Créditos ECTS:

Objectivos

Familiarizar os alunos com os conceitos fundamentais de geometria diferencial de curvas e superfícies no espaço Euclidiano, com ênfase no cálculo em exemplos concretos.

Programa

Curvas parametrizadas. Curvas no espaço: curvatura e torção; triedro de Frenet; existência e unicidade de curvas com curvatura e torção prescritas. Propriedades globais de curvas no plano: desigualdade isoperimétrica e o teorema dos quatro vértices. Superfícies no espaço Euclidiano 3-dimensional. Plano tangente e aplicações suaves entre superfícies. A primeira forma fundamental; área. A aplicação normal de Gauss. A segunda forma fundamental. Curvaturas principais; curvaturas Gaussiana e média; linhas de curvatura. A aplicação normal de Gauss em coordenadas. Cálculo em exemplos clássicos. Geometria intrínseca de superfícies. Isometrias e aplicações conformes. O teorema de Gauss e as equações de compatibilidade. Transporte paralelo; geodésicas. Cálculo das geodésicas em superfícies de revolução; o integral de Clairaut. O teorema de Gauss-Bonnet e aplicações. Tópicos opcionais e/ou adicionais: formas diferenciais e sua aplicação à geometria diferencial de superfícies.

Metodologia de avaliação

Séries de Exercícios e/ou Exame Final, eventualmente complementados com exposições orais.

Pré-requisitos

Cálculo Diferencial e Integral III

Componente Laboratorial

Não aplicável.

Princípios Éticos

Todos os membros de um grupo são responsáveis pelo trabalho do grupo. Em qualquer avaliação, todo aluno deve divulgar honestamente qualquer ajuda recebida e fontes usadas. Numa avaliação oral, todo aluno deverá ser capaz de apresentar e responder a perguntas sobre toda a avaliação.

Componente de Programação e Computação

Não aplicável.

Componente de Competências Transversais

A UC permite o desenvolvimento de competências transversais em Pensamento Crítico, Criatividade e Estratégias de Resoluções de Problemas, nas aulas, em trabalho autónomo e nas várias componentes de avaliação. A percentagem de avaliação associada a estas competências deverá ser da ordem dos 15%.