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Disciplina

Mecânica Geométrica

Área

Área Científica de Equações Diferenciais e Sistemas Dinâmicos > Equações Diferenciais e Sistemas Dinâmicos

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Nível

Séries de Exercícios e/ou Exame Final, eventualmente complementados com exposições orais.

Tipo

Não Estruturante

Regime

Semestral

Carga Horária

1º Semestre

Trabalho Autónomo: 119.0 h/semestre

Créditos ECTS:

Objectivos

Saber calcular a conexão de Levi-Civita de uma variedade Riemanniana. Saber definir sistema mecânico numa variedade Riemanniana e calcular as suas trajectórias. Conhecer exemplos clássicos de sistemas conservativos, e.g. o corpo rígido com um ponto fixo. Saber identificar restrições holónomas e não holónomas. Saber escrever as equações de Euler-Lagrange e aplicar o Teorema de Noether. Conhecer as noções básicas da geometria simplética e geometria de Poisson. Saber identificar sistemas completamente integráveis. Saber usar simetria para efetuar redução em variedades de Poisson. Conhecer as noções básicas de Teoria de Controlo Geométrico (controlabilidade, acessibilidade e estabilização), incluindo sistemas não holónomos. Saber aplicar o Princípio do Máximo para calcular controlos ótimos. Conhecer as noções básicas de geometria Lorentziana e a equação de Einstein, a solução de Schwarzschild e a relação com buracos negros, e os modelos cosmológicos de Friemann-Lemaitre-Robertson-Walker.

Programa

Elementos de Geometria Diferencial: Variedades diferenciáveis. Conexões e paralelismo. Variedades Riemannianas e conexão de Levi-Civita. Sistemas Mecânicos em Variedades Riemannianas: Definição e exemplos clássicos. Sistemas conservativos. Restrições holónomas e restrições não holónomas. Mecânica Hamiltoniana: Mecânica Lagrangeana em variedades. Teorema de Noether. Transformação de Legendre. Geometria simplética e geometria de Poisson. Sistemas completamente integráveis. Simetria e redução. Controlo Geométrico: Controlabilidade, acessibilidade e estabilização. Controlo de sistemas não holónomos. Controlo ótimo e Princípio do Máximo. Relatividade: Espaço-tempo de Minkowski. Variedades Lorentzianas e equação de Einstein. Solução de Schwarzschild. Buracos negros. Cosmologia.

Metodologia de avaliação

Séries de Exercícios e/ou Exame Final, eventualmente complementados com exposições orais.

Pré-requisitos

Conhecimentos básicos de Geometria Riemanniana.

Componente Laboratorial

Não aplicável.

Princípios Éticos

Todos os membros de um grupo são responsáveis pelo trabalho do grupo. Em qualquer avaliação, todo aluno deve divulgar honestamente qualquer ajuda recebida e fontes usadas. Numa avaliação oral, todo aluno deverá ser capaz de apresentar e responder a perguntas sobre toda a avaliação.

Componente de Programação e Computação

Não aplicável.

Componente de Competências Transversais

A UC permite o desenvolvimento de competências transversais em Pensamento Crítico, Criatividade e Estratégias de Resoluções de Problemas, nas aulas, em trabalho autónomo e nas várias componentes de avaliação. A percentagem de avaliação associada a estas competências deverá ser da ordem dos 15%.