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Disciplina

Tópicos de Teoria de Operadores

Área

Área Científica de Análise Real e Análise Funcional > Análise Real e Análise Funcional

Activa nos planos curriculares

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Nível

[RHP] Exercícios (60%) e apresentação de tópico de investigação (40%). [TO] Apresentações orais/exercícios (50%) e apresentação de um tópico de iniciação à investigação (50%).

Tipo

Não Estruturante

Regime

Semestral

Carga Horária

1º Semestre

Aula Teórica (T): 4.0 h/semana

Trabalho Autónomo: 154.0 h/semestre

Créditos ECTS:

Objectivos

O objectivo desta disciplina dirigida, fundamentalmente a alunos de doutoramento, é abordar temas de Teoria de Operadores que se relacionem com tópicos de investigação activos na comunidade matemática e em particular tópicos investigados por membros da área de Análise Real e Análise Funcional do Departamento de Matemática. Esses tópicos poderão variar ao longo dos anos, correspondendo a um subtítulo associado à disciplina: (i). Problemas de Riemann-Hilbert [RHP]: Introdução ao método de Riemann-Hilbert e suas aplicações à Teoria de Operadores e Física Matemática, permitindo ao aluno abordar desenvolvimentos recentes nessas áreas e desenvolver um tópico de investigação. (ii). Operadores de Toeplitz [TO]: Introdução dos principais resultados referentes ao operador singular de Cauchy em espaços Lp. Apresentação da teoria de factorização de funções e da sua relação com a teoria de Fredholm e de invertibilidade para operadores de Toeplitz. Construção de símbolos de Fredholm para operadores de Toeplitz e para operadores de álgebras C* com operadores de deslocamento.

Programa

(i) Problemas de Riemann-Hilbert [RHP]: 1. Problemas de Riemann-Hilbert (PRH): PRH escalares e matriciais. Exemplos motivados por aplicações. 2. Breve revisão de alguns resultados de Análise Funcional: operadores lineares limitados em espaços de Banach; operadores compactos; operadores de Fredholm; regularizadores; o operador integral singular de Cauchy em espaços Lp. 3. Espaços de funções analíticas no disco e no semi-plano: as projecções de Riesz e os espaços de Hardy; factorização inner-outer. 4. O método de Riemann-Hilbert: métodos de resolução explícita de várias classes PRH escalares e vectoriais. 5. Aplicações em matemática pura e aplicada: 5.1 Factorização de Wiener-Hopf de funções escalares e matriciais via PRH: teoremas gerais da factorização; factorização de funções contínuas e seccionalmente contínuas. Factorização meromorfa. 5.2 PRH matriciais e o teorema da coroa: Problemas da coroa clássicos e meromorfos; aplicações ao estudo do espectro de operadores de Toeplitz. 5.3 Apresentação e discussão de alguns resultados recentes em Física Matemática, nomeadamente no estudo de sistemas integráveis, com base em artigos tratando tópicos de investigação. (ii) Operadores de Toeplitz [TO]: 1. Operadores de Fredholm e álgebra de Calkin: Operadores normalmente solúveis. Caracterização dos operadores de Fredholm. Perturbação de operadores de Fredholm e propriedades do índice. Operadores de semi-Fredholm e inversão generalizada de operadores. 2. O operador integral singular de Cauchy: Perspectiva clássica e o operador integral singular de Cauchy em espaços de Lebesgue. Principais propriedades. Generalização a espaços com peso e a sistemas de curvas. Os operadores de projecção de Cauchy em Lp. O transposto do operador integral singular de Cauchy. 3. Operadores de Toeplitz e a teoria da factorização: Conceito de factorização. Operador integral singular com coeficientes racionais. Operador de Toeplitz com símbolo contínuo. Factorização em álgebras de Banach decomponíveis Factorização generalizada de funções. Generalização dos resultados de factorização ao caso matricial. Factorização AP. 4. A teoria de Fredholm de operadores de Toeplitz. Princípio de localização. Introdução ao método das trajectórias locais. Construção de símbolos de Fredholm para operadores integrais singulares com deslocamento. Uma álgebra gerada por operadores de Toeplitz e Hankel. A localização em órbitas e a invertibilidade para classes de álgebras C* com operadores de deslocamento.

Metodologia de avaliação

[RHP] Exercícios (60%) e apresentação de tópico de investigação (40%). [TO] Apresentações orais/exercícios (50%) e apresentação de um tópico de iniciação à investigação (50%).