Disciplina
Fundamentos de Topologia e Análise Real
Área
Área Científica de Análise Real e Análise Funcional > Análise Real e Análise Funcional
Activa nos planos curriculares
MMA 2006 > MMA 2006 > 2º Ciclo > Perfis > Matematica > Análise Real e Análise Funcional > Fundamentos de Topologia e Análise Real
Nível
Exercícios para entregar e apresentações orais (50%) . Exame (50%).
Tipo
Não Estruturante
Regime
Semestral
Carga Horária
1º Semestre
4.0 h/semana
154.0 h/semestre
Objectivos
Estabelecer os resultados principais relativos a espaços métricos e espaços topológicos. Desenvolver a teoria geral da medida e do integral de Lebesgue. Aplicações aos espaços L p .
Programa
<i>1. Espaços métricos:</i> Noções fundamentais. Funções contínuas e convergência. Contabilidade e separabilidade. Espaços métricos completos. Espaços métricos compactos, caracterizações equivalentes. Teorema de Heine-Borel. Convergência uniforme e Teorema de Ascoli-Arzela. <i>Tópicos opcionais:</i> Teorema de Baire. Continuidade uniforme e teorema de Heine-Cantor. <i>2. Espaços topológicos:</i> Propriedades elementares, bases. Subespaços. Axiomas de contabilidade e separação. Funções contínuas; homeomorfismos. Topologias produto e quociente. Espaços conexos e conexos por arcos, componentes. Teorema do valor intermédio. Espaços compactos. Teorema de Weierstrass. Espaços localmente compactos; compactificação a 1-ponto. Teorema de Tychonoff. Lema de Urysohn e Teorema de Tietze. <i>Tópicos opcionais:</i> Redes e filtros. Grupo fundamental. Mergulhos e teorema de metrização de Urysohn. <i>3. Espaços de medida:</i> oções fundamentais, -aditividade. Medidas exteriores, construção de Caratheodory. Teorema de extensão de Hahn. Medidas de Lebesgue-Stieljes. Conjuntos Lebesgue mensuráveis e Borel mensuráveis; regularidade. Medidas com sinal, decomposições de Hahn e Jordan. <i>Tópicos opcionais:</i> Medidas de Radon e dualidade. Medidas de probabilidade. <i>4. Integral em espaços de medida:</i> Funções mensuráveis e integráveis, aproximação por funções simples. Integral de Lebesgue. Teoremas de convergência. Diferenciação de medidas, continuidade absoluta e teorema de Radon-Nikodym. Teorema de diferenciação de Lebesgue e os teoremas fundamentais do cálculo. Integração no espaço produto, teorema de Fubini-Lebesgue. <i>Tópicos opcionais:</i> Teoremas de Lusin e Egoroff. Modos de convergência; convergência em medida. <i>5. Introdução aos espaços Lp :</i> Desigualdades de Hölder e Minkowski, convergência e completude. Funcionais lineares contínuos. Dualidade. <i>Tópicos opcionais:</i> Convolução. Transformação de Fourier.
Metodologia de avaliação
Exercícios para entregar e apresentações orais (50%) . Exame (50%).
Pré-requisitos
Componente Laboratorial
Princípios Éticos
Componente de Programação e Computação
Componente de Competências Transversais
Bibliografia
Principal
Prentice-Hall, 4th Ed. (II.9-12, III.17 - 20, I.2, 6, 7, 8.1)
McGraw-Hill Education, 3rd Ed. (1-3, 6-8)
Secundária
Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications
A Course in Functional Analysis