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Disciplina

Métodos de Álgebra e Geometria em Engenharia e Física

Área

Área Científica de Física-Matemática > Física-Matemática

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Nível

Testes e Exame final.

Tipo

Não Estruturante

Regime

Semestral

Carga Horária

1º Semestre

Aula Teórica (T): 4.0 h/semana

Trabalho Autónomo: 154.0 h/semestre

Créditos ECTS:

Objectivos

Introduzir tópicos de álgebra, geometria e topologia e dar exemplos de aplicações em física e engenharia, tendo em vista alunos de física e engenharia com vontade de aprender mais matemática, com aplicações recentes a segurança da informação, física de partículas, ciência de dados, robótica, estabilidade de edifícios, etc. Útil para alunos de matemática interessados em aplicações recentes da matemática.

Programa

1 Tópicos de álgebra e aplicações 1.1 Aneis, corpos e módulos. 1.2 Grupos, ações de grupos e representações de grupos finitos. 1.3 Aplicações: 1.3.1 Segurança da informação [Ko]. 1.3.2 Vibrações (de edifícios, etc) de estruturas simétricas [Zi]. 1.3.3 Otimização estrutural usando representações de grupos finitos [VD]. 2 Tópicos de geometria e topologia e aplicações. 2.1 Elementos de topologia. Espaços topológicos e espaços métricos. Grupo fundamental e revestimentos. Complexos simpliciais e homologia. 2.2 Variedades e campos tensoriais. Variedades Riemannianas. 2.3 Integração de formas e cohomologia de De Rham. 2.4 Fluxos de campos vetoriais. Derivadas de Lie e invariâncias de campos tensoriais. 2.5 Teoria de Morse 2.6 Aplicações: 2.6.1 Homologia persistente e ciência de dados [Car, CM, EH, Gh1, Gh2, Sn]. 2.6.2 Aplicações da teoria de Morse a big data [EH, Sn]. 2.6.3 Modelos cosmológicos [GN, Pe]. 3 Álgebras de Lie, grupos de Lie e aplicações. 3.1 Grupos e álgebras de Lie. 3.2 Grupos de Lie compactos simples e as suas algebras de Lie. Sistemas de raízes. 3.3 Elementos da teoria de representações. Acções de grupos de Lie em variedades. 3.4 Aplicações 3.4.1 Estática e dinâmica de robots versus grassmanianas e variedades bandeira [Se] 3.4.2 Física de partículas e teorias de unificação das interações [Cah, Ro].