Dissertação

{pt_PT=Finite difference methods for the solution of fractional diffusion equations} {} EVALUATED

{pt=O cálculo fraccional é uma disciplina matemática que lida com integrais e derivadas de ordem arbitrária que tem vindo a encontrar aplicações na física, processamento de sinais, engenharia, biociências e finanças. A difusão anómala tem recebido bastante atenção por parte do cálculo fraccional. Nas equações fraccionais de difusão as derivadas normais são substituídas por derivadas de ordem fraccional, dando origem a equações fraccionais no tempo, espaço e tempo-espaço. Dado que a solução analítica de equações de difusão fraccionárias é difícil de obter, os métodos de diferenças finitas tornaram-se bastante populares havendo um grande número de esquemas recentemente publicado. Foram seleccionados três esquemas com ordens crescentes para cada um dos subtipos de equação de difusão fraccional. A construção de cada um dos esquemas é sumarizada e cada um é implementado de modo a permitir a sua validação e comparação com os restantes. Apesar do seu sucesso, as equações de difusão faccionais de ordem constante mostraram dificuldades na modelação de fenómenos mais complexos. Para as ultrapassar, foram propostas derivadas de ordem variável, função do tempo e/ou espaço,sendo importante entender claramente como é que a ordem variável afecta o comportamento de um sistema difusivo. Uma equação de difusão de ordem variável no tempo é resolvida através de um esquema de diferenças finitas e a sua forma matricial é apresentada. A implementação é validada e usada para estudar a ordem variável como função do espaço, tempo ou até da solução da equação que são comparadas com a ordem constante., en=Fractional calculus is a mathematical field dealing with integrals and derivatives of arbitrary order. In recent times fractional calculus has found applications in physics, signal-processing, engineering, bio-science, and finance. Anomalous diffusion has received particular interest in the framework of fractional calculus applications. In fractional diffusion equations, standard derivatives are replaced by fractional order counterparts, originating time, space and time-space fractional diffusion equations. Since the analytical solution of fractional differential equations is hard to obtain, finite difference methods in particular became very popular and a large number of schemes has been published very recently. Three different schemes with increasing order of accuracy were selected for time, space and time-space fractional diffusion equations. To fulfil the first objective of this work, the construction of these schemes is summarized and then with numerical examples, solved through self-written code, a comparison is made in terms of accuracy and computational cost. Despite their success, constant fractional order differential equations showed difficulties in modelling complex phenomena. To overcome these difficulties, variable order fractional derivatives, whose order is function of time and/or space have been proposed, becoming important to understand how the variable order behaviour affects a diffusive system. A variable order time fractional diffusion equation is solved via a finite difference scheme and its matrix form is presented in detail. A self-written implementation is validated and then used to study the influence of the variable order time derivative, function of time and space, in the solution of variable order time fractional diffusion equations. }
{pt=Cálculo Fraccional, Difusão Anómala, Equação da Difusão Fraccional, Métodos de Diferenças Finitas, Derivada Fraccional, Ordem-Variável, en=Fractional Calculus, Anomalous Diffusion, Fractional Diffusion Equation, Finite Difference Methods, Fractional Derivative, Variable-Order}

Novembro 14, 2016, 15:30

Publicação

Obra sujeita a Direitos de Autor

Orientação

ORIENTADOR

José Manuel Da Silva Chaves Ribeiro Pereira

Departamento de Engenharia Mecânica (DEM)

Professor Auxiliar

ORIENTADOR

José Carlos Fernandes Pereira

Departamento de Engenharia Mecânica (DEM)

Professor Catedrático