Dissertação

Asymptotic behaviour of exclusion processes with non-linear boundary dynamics EVALUATED

Nesta dissertação consideramos o Processo de Exclusão Simples Simétrico numa caixa $ \Lambda_N=\{1,\dots,N-1\} $ acoplado com um reservatório de partículas em cada extremidade, que injeta/retira partículas numa janela de tamanho $ K $ (\textit{i.e.,} em $ \{1,\dots K\} $ e $ \{N-K,\dots,N-1\} $). Uma partícula entra no sistema no primeiro sítio livre, e sai apenas do primeiro sítio ocupado, induzindo assim correlações entre partículas. As taxas de entrada e saída de partículas são proporcionais a $ \kappa N^{-\theta} $, o que faz com que para $ \theta>0 $ os reservatórios tenham uma ação lenta. Mostramos que a densidade espacial de partículas é descrita por uma solução fraca da equação do calor com condições de fronteira de Robin, se $ \theta=1 $, ou de Neumann, se $ \theta>1 $. Em seguida, estudamos a propagação do caos, através de cotas para as chamadas $ v-$functions. Dizemos que existe propagação do caos quando temos que qualquer número finito de partículas evolui independentemente, quando o número total de partículas vai para infinito. Por fim, estudamos algébricamente o Matrix Product Ansatz para $ K=1 $ no regime lento ($ \theta\geq0 $), e extendemos a atual metodologia para $ K=2 $. Para $ K=1 $ e $ \theta\neq 0 $, fazemos uma pequena correção na algebra, e para $ K=2 $ mostramos sob que condições a nossa algebra é consistente. Quando consistente, a normalização satisfaz uma recorrência de segunda ordem. Fomos bem sucedidos em induzir uma algebra consistente para taxas gerais, exceto em um caso particular.
Limite Hidrodinâmico, Processo de exclusão, Equação do Calor, Dinâmica não linear, Propagação do Caos, Matrix Product Ansatz

Dezembro 7, 2018, 14:30

Publicação

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Orientação

ORIENTADOR

Ana Patrícia Carvalho Gonçalves

Departamento de Matemática (DM)

Professor Associado