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Dissertação

Thom Polynomials for Degeneracy Loci of 2-forms and Maps to an Almost Symplectic Manifold EVALUATED

Detalhes: Seja M uma 2m-variedade diferenciável. Por vezes, os loci de degenerescência de uma estrutura geométrica em M dão origem a classes de homologia em $H_*(M)$. O cálculo dos seus duais de Poincaré (usualmente denominados por polinómios de Thom) é uma área ativa de investigação. Nesta tese, calculamos os polinómios de Thom de loci de degenerescência em dois casos. No capítulo 2 introduzimos preliminares teóricos e conceitos necessários no resto da tese. No capítulo 3, estudamos os loci de degenerescência de secções do fibrado $\Lambda^2 T^*M \to M$ ou, por outras palavras, de 2-formas sobre M. Haverá um polinómio de Thom $P_{R_k}$ para cada inteiro $k \in \{0,...,m\}$. Para calcular $P_{R_k}$, definimo-lo primeiro como uma certa obstrução cohomológica à existência de secções com rank em todo o lado maior do que 2k. Calculamos essas obstruções e por fim mostramos que são os duais de Poincaré dos loci de degenerescência. No capítulo 4, consideramos uma aplicação diferenciável $i : M \to N$ entre uma 2m-variedade M e uma 2n-variedade quase-simplética N, com $m \leq n$. Estudamos neste caso os loci de degenerescência do fibrado $Hom(TM,i^*TN) \to M$. Neste contexto, os loci poderão não dar origem a classes de homologia, mas a definição de polinómios de Thom como classes de obstrução permanece válida e é essa que usamos. O procedimento para calcular os polinómios de Thom é o mesmo que o usado no capítulo 3.
Keywords: Loci de Degenerescência, Classes Características, Espaços Classificantes, Polinómios de Thom

Discussão: novembro 16, 2021, 10:0