Dissertação

Numerical Methods for Stochastic Differential Equations with Applications to Finance EVALUATED

A precificação de derivados financeiros é usada por investidores com o objetivo de aumentar os retornos esperados e minimizar o risco associado a um investimento. As opções, em particular, oferecem benefícios como risco limitado e alavancagem, sendo alvo de muita pesquisa no sentido de desenvolver modelos que prevejam o preço correto das opções. O modelo de precificação de opções mais celebrado é o modelo de Black-Scholes, mas sendo reduzido à equação do calor, usa algumas hipóteses restritivas, levando a precificações erradas. Assim, desenvolveram-se extensões do modelo de Black-Scholes, com variação da volatilidade e da taxa de juro. Nesta tese, revendo a abordagem clássica, com esquemas de diferenças finitas para a equação do calor, aplicamos depois métodos numéricos para equações diferenciais estocásticas - esquemas de Euler-Maruyama e Milstein, implementados em simulações de Monte Carlo, que será o o principal foco desta tese. Começamos por considerar modelos de preços dos ativos em que a volatilidade e a taxa de juro são coeficientes que dependem do tempo e de seguida consideramos também coeficientes que dependem do preço do ativo. Verificando-se condições suficientes nos coeficientes, as aproximações numéricas vão convergir no sentido fraco e forte, para o preço das opções europeias. Finalmente, implementamos o modelo de Heston com volatilidade estocástica, para o qual também obteremos boas taxas de convergência.
EDE's, Euler-Maruyama, Milstein, modelo de Black-Scholes, Monte Carlo, diferenças finitas

Junho 8, 2016, 15:0

Publicação

Obra sujeita a Direitos de Autor

Orientação

ORIENTADOR

Carlos José Santos Alves

Departamento de Matemática (DM)

Professor Associado