Dissertação

Correspondência de Galois não-comutativa EVALUATED

Utilizamos a abordagem das álgebras de operadores para desenvolver a teoria de Galois, onde corpos e subcorpos são substituídos por factores $M$ e subfactores $N\subseteq M$, respectivamente. O factor hiperfinito $R$, do tipo II$_{1}$, tem uma estrutura de simetria bastante rica (e.g., um qualquer grupo finito actua externamente sobre $R$ e um subfactor $N\subseteq R$ permanece hiperfinito; a álgebra $N$ é isomorfa a $R$, se infinito-dimensional, por aplicação de importantes resultados de von Neumann e A. Connes). V.R.F. Jones iniciou o estudo dos subfactores $N\subseteq M$ e procurou invariantes que permitissem distinguir diferentes inclusões a menos dum isomorfismo de álgebras: encontrou o índice (de Jones) $\left[ M:N\right]$ e o grupo de Galois $Gal\left( M,N\right)$. Revemos a construção duma acção externa dum qualquer grupo finito $G$ sobre $R$; deduzimos algumas propriedades gerais do grupo de Galois, e verificamos que $\left\vert Gal\left(M,N\right) \right\vert \leq \left[ M:N\right]$; calculamos explicitamente os grupos de Galois $Gal\left(R,R^{G}\right)$ e $Gal\left(R\rtimes_{\alpha}G,R\right)$, dos subfactores $R^{G}\subseteq R$ e $R\subseteq R\rtimes_{\alpha}G$, respectivamente, onde $R^{G}$ é a álgebra dos pontos fixos, $R\rtimes_{\alpha}G$ é a álgebra produto cruzado e $\alpha:G\rightarrow Aut(R)$ é a subjacente acção externa de $G$ sobre $R.$ Além disso, obtemos a correspondência de Galois entre sub-grupos de $G$ e sub-álgebras intermédias $R\subseteq P\subseteq R\rtimes_{\alpha}G$ ou $R^{G}\subseteq Q\subset R$. Provamos que os subfactores $R^{G}\subseteq R^{H}$ e $R^{G/H}\subseteq R$ são conjugados quando $H$ é um subgrupo normal de $G$, obtendo-se uma correspondência de Galois entre uma classe mais vasta de subfactores e o grupo de Galois.
álgebras de von Neumann, factores do tipo II$_{1}$, índice de Jones, subfactores, grupo de Galois, correspondência de Galois

Maio 7, 2008, 11:0

Publicação

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Orientação

ORIENTADOR

Paulo Jorge da Rocha Pinto

Departamento de Matemática (DM)

Professor Auxiliar