Dissertação

The Lebesgue Measure and Large Cardinals EVALUATED

Um dos factores que motivaram grandes avanços na teoria dos conjuntos foi a medida de Lebesgue. A medida de Lebesgue é a componente fundamental da teoria da integração de Lebesgue, que é uma generalização da teoria de integração de Riemann. Apesar do integral de Lebesgue ter muitas vantagens, este não consegue medir todos os conjuntos de reais. No entanto, existe uma alternativa quando adoptamos uma versão mais fraca do axioma da escolha, nomeadamente o princípio das escolhas dependentes (DC). O Teorema de Solovay afirma que se existe um modelo de ZFC com um cardinal inacessível, então existe um modelo de ZF+DC onde todos os conjuntos de reais são mensuráveis à Lebesgue. Por outro lado, o Teorema de Shelah esclarece que quando existe um modelo de ZF+DC onde todos os conjuntos de reais são mensuráveis à Lebesgue, também existe um modelo de ZFC com um cardinal inacessível. Esta tese é uma exposição detalhada dos teoremas de Solovay e de Shelah, e das respectivas demons\-trações. Os pré-requisitos para as demonstrações são principalmente a teoria dos modelos para conjuntos; o método de forcing, em particular o colapso de Lévy e a álgebra aleatória; e a teoria descritiva, com foco na mensurabilidade à Lebesgue. Estes pré-requisitos são apresentados após uma revisão breve da medida de Lebesgue. Depois os dois teoremas principais são demonstrados com o devido detalhe.
Medida de Lebesgue, Cardinal Inacessível, Princípio das Escolhas Dependentes, Colapso de Lévy, Álgebra Aleatória, Filtro Rápido

Julho 10, 2017, 10:0

Publicação

Obra sujeita a Direitos de Autor

Orientação

ORIENTADOR

António Marques Fernandes

Departamento de Matemática (DM)

Professor Auxiliar