Disciplina Curricular
Álgebra Comutativa AComu
Mestrado Bolonha em Matemática Aplicada e Computação - MMAC 2021
Contextos
Grupo: MMAC 2021 > 2º Ciclo > Área Principal > Áreas de Especialização > Área de Especialização em Matemática > Área Científica > Álgebra e Topologia
Período:
Peso
9.0 (para cálculo da média)
Pré-requisitos
Módulos e Representações; algum conhecimento de topologia geral.
Objectivos
Introduzir conhecimentos sobre álgebra comutativa e a sua relação com a geometria algébrica.
Programa
Operações com ideais. Conjuntos algébricos. Bases de Groebner. Localização. Anéis e módulos Noetherianos e Artinianos. Teorema da base de Hilbert. O teorema de Cayley–Hamilton e o lema de Nakayama. Primos associados. Álgebras sobre anéis. “Going-up” e “going-down” para ideais primos. Extensões finitas e integrais e teorema de normalização de Noether. O Nullstellensatz e o espectro de um anel. Variedades afins. Funções e aplicações racionais em variedades afins. Dimensão de Krull. O teorema do ideal principal de Krull. Sistemas de parâmetros e anéis regulares locais. Anéis de valoração discreta e domínios de Dedekind. Ideais fracionários e invertíveis. Filtrações e completamentos. O Teorema de interseção de Krull. Os lemas de Hensel e de Artin-Rees. Tópicos adicionais possíveis: anéis e módulos graduados; o polinómio de Hilbert; caracterização da dimensão pela função de Hilbert; o complexo de Koszul; anéis de Cohen-Macaulay.
Metodologia de avaliação
Avaliação contínua, incluindo testes realizados nas aulas, e exame final.
Componente de Competências Transversais
A UC permite o desenvolvimento de competências transversais em Pensamento Crítico, Criatividade e Estratégias de Resoluções de Problemas, nas aulas, em trabalho autónomo e nas várias componentes de avaliação. A percentagem de avaliação associada a estas competências deverá ser da ordem dos 15%.
Componente Laboratorial
Não aplicável.
Componente de Programação e Computação
Não aplicável.
Princípios Éticos
Todos os membros de um grupo são responsáveis pelo trabalho do grupo. Em qualquer avaliação, todo aluno deve divulgar honestamente qualquer ajuda recebida e fontes usadas. Numa avaliação oral, todo aluno deverá ser capaz de apresentar e responder a perguntas sobre toda a avaliação.