Disciplina Curricular

Mecânica Geométrica MG

Mestrado Bolonha em Matemática e Aplicações - MMA 2006

Contextos

Grupo: MMA 2006 > 2º Ciclo > Perfis > Matematica > Equações Diferenciais e Sistemas Dinâmicos

Período:

Peso

7.5 (para cálculo da média)

Objectivos

Saber calcular a conexão de Levi-Civita de uma variedade Riemanniana e a respectiva curvatura utilizando as equações estruturais de Cartan. Saber definir sistema mecânico numa variedade Riemanniana e calcular as respectivas trajectórias. Conhecer alguns exemplos clássicos de sistemas conservativos, e.g. o corpo rígido com um ponto fixo. Saber identificar vínculos holónomos e não holónomos. Conhecer a geometria de Lorentz, a desigualdade de Schwarz invertida e a relação entre o grupo Lorentz e o grupo de Möbius. Saber escrever a equação de Einstein e resolvê-la em casos simples, e.g. espaço-tempos estacionários. Conhecer o formalismo mecânica lagrangeana em variedades, o formalismo canónico e a equação de Hamilton-Jacobi. Saber definir integrabilidade e coordenadas acção-ângulo. Conhecer o teorema de Liouville e o teorema KAM.

Programa

Elementos de Geometria Diferencial: Variedades diferenciáveis. Conexões e paralelismo. Variedades Riemannianas e conexão de Levi-Civita. Vizinhança tubular. Curvatura e equações estruturais de Cartan. Sistemas Mecânicos em Variedades Riemannianas: Definição e exemplos clássicos. Sistemas com vínculos não holónomos. Sistemas conservativos e dissipativos. Relatividade: Geometria de Lorentz e desigualdade de Schwarz. Relação entre o grupo Lorentz e o grupo de Möbius. Aspectos geométricos da equação de Einstein. Espaço-tempos estacionários. Mecânica Hamiltoniana: Mecânica lagrangeana em variedades. Formalismo canónico e equação de Hamilton-Jacobi. Integrabilidade, teorema de Liouville e coordenadas acção-ângulo. Teorema KAM. Aplicação momento e redução do espaço de fase. O modelo dos vórtices, comportamentos quase-periódico e caótico.

Metodologia de avaliação

Trabalhos de casa (50%) e exame final escrito (50%).

Disciplinas Execução

2017/2018 - 1ºSemestre

2016/2017 - 1ºSemestre

2015/2016 - 1º Semestre

2014/2015 - 1º Semestre

2013/2014 - 1 Semestre

2012/2013 - 1 Semestre

2011/2012 - 1 Semestre

2010/2011 - 1 Semestre

2009/2010 - 1 Semestre

2008/2009 - 1 Semestre

2007/2008 - 1 Semestre