Disciplina Curricular

Equações Diferenciais Ordinárias EDO

Mestrado Bolonha em Matemática e Aplicações e Computação - MMA 2006

Contextos

Grupo: MMA 2006 > 2º Ciclo > Perfis > Matematica > Equações Diferenciais e Sistemas Dinâmicos

Período:

Peso

7.5 (para cálculo da média)

Objectivos

Fornecer uma introdução de nível elevado à Teoria de Equações Diferenciais Ordinárias, com ênfase no estudo das propriedades geométricas e topológicas, e nomeadamente de conceitos e resultados fundamentais de teoria qualitativa, hiperbolicidade e estabilidade.

Programa

Sistemas dinâmicos e equações diferenciais: teorema de ponto fixo para contracções em espaços métricos completos; existência, unicidade, regularidade e extensão de soluções; dependência contínua em relação às condições iniciais; teorema de Ascoli?Arzelá. Teoria geométrica: retratos de fase; órbitas homoclínicas e heteroclínicas; órbitas periódicas; conjuntos invariantes; secções transversais; conjuntos limite; teorema da curva de Jordan; teorema de Poincaré?Bendixson. Equações lineares: retratos de fase; equação linear variacional; coeficientes periódicos; sistemas atractores, repulsores e hiperbólicos; conjugação linear, topológica e diferenciável; equações lineares com coeficientes periódicos e matrizes de monodromia; multiplicadores e expoentes característicos. Hiperbolicidade: pontos fixos hiperbólicos e equação linear variacional; teorema de Grobman?Hartman: conjugação topológica para difeomorfismos e campos vectoriais. Estabilidade: estabilidade e estabilidade assimptótica no sentido de Lyapunov; funções de Lyapunov e funções de Lyapunov estritas; critérios de estabilidade e instabilidade; convergência exponencial; sistemas mecânicos; expoentes característicos e estabilidade. Teoria do índice: teoria do índice para campos vectoriais no plano; teorema do ponto fixo de Brouwer; teorema fundamental da álgebra e equações diferenciais no plano complexo; índice de pontos críticos isolados. Teoria de bifurcação: diagramas de bifurcação; equações homológicas e formas normais; ressonâncias, formas normais e teorema de Poincaré; estabilidade estrutural de equações diferenciais hiperbólicas; teorema da variedade central; variedades centrais aproximadas; estabilidade de pontos críticos; variedades estáveis e instáveis aproximadas.