Disciplina Curricular

Mecânica Geométrica MG

Mestrado Bolonha em Matemática e Aplicações - MMAC 2021

Contextos

Grupo: MMAC 2021 > 2º Ciclo > Área Principal > Áreas de Especialização > Área de Especialização em Matemática > Área Científica > Equações Diferenciais e Sistemas Dinâmicos

Período:

Grupo: MMAC 2021 > 2º Ciclo > Área Principal > Áreas de Especialização > Área de Especialização em Matemática > Área Científica > Equações Diferenciais e Sistemas Dinâmicos

Período:

Peso

6.0 (para cálculo da média)

Pré-requisitos

Conhecimentos básicos de Geometria Riemanniana.

Objectivos

Saber calcular a conexão de Levi-Civita de uma variedade Riemanniana. Saber definir sistema mecânico numa variedade Riemanniana e calcular as suas trajectórias. Conhecer exemplos clássicos de sistemas conservativos, e.g. o corpo rígido com um ponto fixo. Saber identificar restrições holónomas e não holónomas. Saber escrever as equações de Euler-Lagrange e aplicar o Teorema de Noether. Conhecer as noções básicas da geometria simplética e geometria de Poisson. Saber identificar sistemas completamente integráveis. Saber usar simetria para efetuar redução em variedades de Poisson. Conhecer as noções básicas de Teoria de Controlo Geométrico (controlabilidade, acessibilidade e estabilização), incluindo sistemas não holónomos. Saber aplicar o Princípio do Máximo para calcular controlos ótimos. Conhecer as noções básicas de geometria Lorentziana e a equação de Einstein, a solução de Schwarzschild e a relação com buracos negros, e os modelos cosmológicos de Friemann-Lemaitre-Robertson-Walker.

Programa

Elementos de Geometria Diferencial: Variedades diferenciáveis. Conexões e paralelismo. Variedades Riemannianas e conexão de Levi-Civita. Sistemas Mecânicos em Variedades Riemannianas: Definição e exemplos clássicos. Sistemas conservativos. Restrições holónomas e restrições não holónomas. Mecânica Hamiltoniana: Mecânica Lagrangeana em variedades. Teorema de Noether. Transformação de Legendre. Geometria simplética e geometria de Poisson. Sistemas completamente integráveis. Simetria e redução. Controlo Geométrico: Controlabilidade, acessibilidade e estabilização. Controlo de sistemas não holónomos. Controlo ótimo e Princípio do Máximo. Relatividade: Espaço-tempo de Minkowski. Variedades Lorentzianas e equação de Einstein. Solução de Schwarzschild. Buracos negros. Cosmologia.

Metodologia de avaliação

Séries de Exercícios e/ou Exame Final, eventualmente complementados com exposições orais.

Componente de Competências Transversais

A UC permite o desenvolvimento de competências transversais em Pensamento Crítico, Criatividade e Estratégias de Resoluções de Problemas, nas aulas, em trabalho autónomo e nas várias componentes de avaliação. A percentagem de avaliação associada a estas competências deverá ser da ordem dos 15%.

Componente Laboratorial

Não aplicável.

Componente de Programação e Computação

Não aplicável.

Princípios Éticos

Todos os membros de um grupo são responsáveis pelo trabalho do grupo. Em qualquer avaliação, todo aluno deve divulgar honestamente qualquer ajuda recebida e fontes usadas. Numa avaliação oral, todo aluno deverá ser capaz de apresentar e responder a perguntas sobre toda a avaliação.

Disciplinas Execução

2021/2022 - 1º Semestre