Disciplina Curricular
Análise de Fourier e Aplicações AFApl
Licenciatura Bolonha em Matemática Aplicada e Computação - LMAC 2024
Contextos
Grupo: LMAC 2024 > 1º Ciclo > Área Principal > Opções em Matemática
Período:
Peso
3.0 (para cálculo da média)
Pré-requisitos
CDI-3.
Objectivos
A cadeira divide-se num tronco comum e em duas opções a serem ensinadas em anos alternados. No tronco comum, estuda-se a teoria das séries de Fourier e da transformada de Fourier, bem como aplicações clássicas relativamente imediatas. As duas opções consistem em aplicações mais sofisticadas da análise de Fourier. A Opção 1 prende-se com a teoria analítica dos números e culmina na prova do teorema de Dirichlet sobre primos em progressões aritméticas. A Opção 2 diz respeito à análise de funções boolianas e culmina no algoritmo de Goldreich-Levin, originalmente desenvolvido como uma ferramenta criptográfica e posteriormente aplicada a learning.
Programa
Tronco comum: 1. Séries de Fourier; 2. Aplicação: desigualdade isoperimétrica ou teorema de equidistribuição de Weyl ou equação do calor no círculo; 3. Transformada de Fourier em R: motivação, definição, espaço de Schwartz; 4. Transformada de Fourier no espaço de Schwartz; 5. Inversão de Fourier; 6. Teorema de Plancherel; 7. Aplicação: equação do calor em R ou princípio da incerteza de Heisenberg Opção 1: Teoria analítica dos números: 8. Fórmula da soma de Poisson; 9. Funções zeta e teta, núcleos do calor e de Poisson; 10. Transformada rápida de Fourier em Z/nZ; 11. Divergência da série dos recíprocos dos primos; 12. Caracteres de Dirichlet e funções L; 13. Teorema de Dirichlet sobre primos em progressões aritméticas; 14. Conclusão da prova do teorema de Dirichlet; Opção 2: Análise de funções boolianas: 8. Transformada de Fourier em R^d; 9. Séries de Fourier de funções boolianas; 10. Funções quase-lineares e teste BLR; 11. Escolha social; 12. Teorema de Arrow; 13. Estrutura espectral e learning; 14. Algoritmo de Goldreich-Levin.
Metodologia de avaliação
Um teste intercalar e exame final.
Componente de Competências Transversais
A UC permite o desenvolvimento de competências transversais em Pensamento Crítico, Criatividade e Estratégias de Resoluções de Problemas, nas aulas, em trabalho autónomo e nas várias componentes de avaliação. A percentagem de avaliação associada a estas competências deverá ser da ordem dos 15%.
Componente Laboratorial
Não aplicável.
Componente de Programação e Computação
Não aplicável.
Princípios Éticos
Todos os membros de um grupo são responsáveis pelo trabalho do grupo. Em qualquer avaliação, todo aluno deve divulgar honestamente qualquer ajuda recebida e fontes usadas. Numa avaliação oral, todo aluno deverá ser capaz de apresentar e responder a perguntas sobre toda a avaliação.