Disciplina Curricular
Análise Funcional AF
Licenciatura Bolonha em Matemática Aplicada e Computação - LMAC 2006
Contextos
Grupo: LMAC 2006 > 1º Ciclo > Opções Matemática > Análise Real e Análise Funcional
Período:
Peso
7.5 (para cálculo da média)
Objectivos
Domínio dos aspectos básicos da teoria dos espaços de Hilbert, dos espaços de Banach e da teoria dos operadores lineares em espaços de Hilbert e de Banach
Programa
Generalidades sobre espaços métricos: sucessões de Cauchy, completude e completação.Espaços de Hilbert: produtos internos, ortogonalidade, bases hilberteanas, cálculo da aproximação óptima, série de Fourier, relação de Parseval. Operadores lineares limitados em espaços de Hilbert: propriedades elementares, funcionais em espaços de Hilbert, operadores adjuntos, autoadjuntos, unitários e normais, operadores de projecção ortogonais, subespaços invariantes, operadores compactos. Teoria espectral dos operadores autoadjuntos compactos: espectro e imagem numérica de um operador limitado, o teorema espectral, cálculo operatorial para operadores autoadjuntos compactos. Espaços de Banach: propriedades elementares, o espaço quociente, funcionais lineares e espaços duais, o teorema de Hahn-Banach e consequências, espaços reflexivos, o operador transposto, os teoremas da aplicação aberta e do gráfico fechado, o princípio da limitação uniforme. Álgebras de Banach: definições e exemplos, invertibilidade, ideais, ideais maximais e a álgebra quociente, espectro. Operadores compactos em espaços de Banach: propriedades gerais, aproximação por operadores de característica finita, teoria de Riesz-Schauder, o espectro de um operador compacto.Operadores de Fredholm: exemplos, caracterizações dos operadores de Fredholm, teoremas de perturbação, propriedades do índice, álgebras de Calkin
Metodologia de avaliação
Exame final