Dissertação

Problema de Frobenius EVALUATED

Dados a_1, a_2, ... , a_d inteiros positivos definimos um número n como sendo representável se n= m_1 a_1 + m_2 a_2 + ... + m_d a_d, onde m_1, m_2, ... , m_d são inteiros não negativos. O problema de Frobenius consiste em encontrar o maior inteiro não representável. A esse número chamamos número de Frobenius. Primeiro, vamos analisar o problema de Frobenius para o caso d =2. Começamos por verificar que se a_1, a_2, ... , a_d são coprimos então o problema está bem posto e resolvemos o problema de quatro formas diferentes. Para além disso, determinamos também o número de inteiros positivos não representáveis e a sua soma. Calculamos ainda, o último número que tem apenas k representações da forma descrita acima, e quantos números têm exactamente k representações. Em seguida, analisamos o problema de Frobenius para o caso d>2. Embora bem posto (se a_1, a_2, ... , a_d são coprimos), ainda não existe solução explicita para o problema e computacionalmente é muito complexo. Vamos então determinar uma fórmula implícita para o número de Frobenius, no caso d=3. Por fim, resolvemos o problema de Frobenius e determinamos o número de não representáveis positivos, para o caso em que os a_i's estão em progressão aritmética.
problema de Frobenius, somas de Sylvester, teorema de Pick, progressões aritméticas

Outubro 10, 2007, 14:0

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Orientação

ORIENTADOR

José Luís Martins Borges e Fachada

Departamento de Matemática (DM)

Professor Auxiliar