Disciplina Curricular

Análise Harmónica AHar

Diploma de Estudos Avançados em Matemática - DEAMat2006

Contextos

Grupo: DEAMat2006 > 3º Ciclo > Equações Diferenciais e Sistemas Dinâmicos

Período:

Peso

7.5 (para cálculo da média)

Objectivos

Introdução ao estudo das séries de Fourier, e aos operadores de integração singular.

Programa

Espaços Lp : Algumas ferramentas preliminares. Convoluções em Lp. Aproximação da identidade. Introdução às séries de Fourier e métodos de soma: Séries de Fourier de funções em L1: propriedades gerais dos coeficientes de Fourier de funções L1. Núcleos de soma. Núcleo de Fejér e Poisson, médias de Cesàro e Abel. Suas convergências em Lp e pontuais. Relações entre regularidade das funções e decaimento dos coeficientes. Convergência pontual de séries de Fourier: Séries de Fourier absolutamente convergentes: álgebra de Wiener. Teorema de Bernstein. Princípio de localização de Riemann, teste de Dini. Teorema tauberiano de Hardy e convergência pontual de séries de funções BV. Fenómeno de Gibbs. Convergência Lp de séries de Fourier: Núcleo de Dirichlet e constantes de Lebesgue: divergência em L1 e divergência pontual de séries de Fourier de funções contínuas. Funções analíticas e harmónicas no disco unitário, fórmula de Poisson e série de Fourier conjugada. Espaços de Hardy no disco unitário e teorema de representação. Espaços Lp fracos, função maximal de Hardy-Littlewood e interpolação de Marcinkiewicz. Teorema de Marcel Riesz para o problema de conjugação. Transformação de Fourier: Revisão de algumas propriedades da transformação de Fourier e da teoria das distribuições. Teorema de interpolação de Riesz-Thorin. Transformada de Fourier em Lp, 1 ≤ p ≤ 2 : desigualdade de Hausdorff-Young. Teorema de Paley-Wiener. Princípio da incerteza. Funções harmónicas no semi-plano superior e relações com o problema de conjugação nas séries de Fourier. Transformação de Hilbert. Decomposição de Calderón-Zygmund. Operadores integrais singulares. Potenciais de Riesz, integração fraccionária e teorema de Hardy-Littlewood-Sobolev. Decomposição de Littlewood-Paley.

Metodologia de avaliação

A avaliação divide-se entre uma componente continua de resolução de problemas (40%), apresentação de seminário temático (30%) e um exame final escrito (30%). A nota mínima do exame final escrito é 9.

Disciplinas Execução

2016/2017 - 2ºSemestre

2015/2016 - 2º Semestre

2014/2015 - 2º Semestre

2013/2014 - 2 Semestre

2012/2013 - 2 Semestre

2011/2012 - 2 Semestre

2010/2011 - 2 Semestre

2009/2010 - 2 Semestre

2008/2009 - 2 Semestre

2007/2008 - 2 Semestre