Disciplina Curricular

Teoria das Categorias TCat

Diploma de Estudos Avançados em Matemática - DEAMat2006

Contextos

Grupo: DEAMat2006 > 3º Ciclo > Álgebra e Topologia

Período:

Peso

7.5 (para cálculo da média)

Objectivos

Dominar os conceitos básicos da teoria das categorias, por exemplo adjunções, equivalências e limites, subjacentes a construções importantes que surgem em muitas áreas da matemática. Contactar com vários exemplos, provenientes de áreas como a álgebra, a geometria, a topologia e a lógica. Em particular adquirir conhecimento acerca de feixes e topoi e ganhar familiaridade com a noção de que a matemática pode ser interpretada num topos arbitrário, tomando como exemplos teoremas da álgebra e da topologia, relacionados por meio de representações de anéis em feixes.

Programa

Categorias e functores. Transformações naturais, Lema de Yoneda, setas universais. Limites e colimites: igualadores, coigualadores, produtos, coprodutos, produtos fibrados, núcleos, conúcleos. Completude, cocompletude e as suas caracterizações por meio de (co)igualadores e (co)produtos. Adjunções. Preservação e criação de (co)limites. Teoremas sobre adjunções: Teorema de Freyd e Teorema Especial do Functor Adjunto. Exemplos provenientes de outras áreas da matemática, tais como objectos simpliciais e espaços de Eilenberg-Mac Lane para a classificação da cohomologia. Pré-feixes, feixes, fibrados e homeomorfismos locais. Espaços anelados e representações de anéis comutativos. Feixes de anéis enquanto anéis numa categoria de feixes. Classificadores de subobjectos. Exponenciação. Topos elementar. Lógica interna de um topos. Números naturais e números reais num topos. Módulos finitamente gerados, módulos projectivos e módulos livres num topos. Feixes localmente livres e fibrados vectoriais. O Teorema de Swan visto como interpretação numa categoria de feixes de um teorema de Kaplansky da álgebra comutativa.