Disciplina Curricular

Tópicos de Álgebras de Operadores TAO

Diploma de Estudos Avançados em Matemática - DEAMat2006

Contextos

Grupo: DEAMat2006 > 3º Ciclo > Análise Real e Análise Funcional

Período:

Peso

7.5 (para cálculo da média)

Objectivos

O objectivo desta disciplina dirigida, fundamentalmente a alunos de doutoramento, é abordar temas de Álgebras de Operadores que se relacionem com tópicos de investigação activos na comunidade matemática e em particular com tópicos investigados por membros da área de Análise Real e Análise Funcional do Departamento de Matemática. Esses tópicos poderão variar ao longo dos anos, correspondendo a um subtítulo associado à disciplina: (i). Teorias de Gelfand não comutativas e álgebras de sucessões de operadores [GNCT]: Abordagem dos princípios locais em álgebras de Banach não comutativas e aplicações a álgebras de sucessões de operadores. (ii). Álgebras de Jordan normadas [NJA]: Introdução à teoria das álgebras de Jordan normadas, que assegura fundamentos necessários para estudar ou investigar áreas da matemática ou afins que requeiram o conhecimento de estruturas de Jordan normadas.

Programa

(i). Teorias de Gelfand não comutativas e álgebras de sucessões de operadores [GNCT]: 1. Revisão de alguns resultados sobre álgebras de Banach: Definições básicas. Invertibilidade e espectro. Ideais Maximais e representações. Exemplos de álgebras de Banach. 2. Princípios Locais e teorias relacionadas: Teoria de Gelfand para álgebras comutativas. O princípio de localização de Allan e Allan-Douglas para álgebras não comutativas. O princípio local de Gohberg-Krupnik. Álgebras com identidade polinomial. Álgebras geradas por idempotentes. 3. Métodos de aproximação e álgebras de sucessões de operadores: Álgebras de operadores de Convolução. Métodos de approximação (Algebrarização; Essencialização e teoremas de “lifting”; métodos das secções finitas para operadores de Wiener-Hopf e operadores de Toeplitz ; Valores singulares e pseudoespectro). (ii). Álgebras de Jordan normadas [NJA]: 1. Álgebras de Jordan. Definição e propriedades básicas de álgebras de Jordan reais e complexas. Projeções, operadores de multiplicação, produto triplo, representação quadrática e decomposição de Peirce. Álgebras de Jordan especiais e excecionais, e álgebras de Jordan matriciais. Teoremas de Macdonald e de Shirshov–Cohn. Álgebras de Jordan formalmente reais. 2. Álgebras-JB. Álgebras de Banach-Jordan, álgebras-JB e álgebras-JC. Homomorfismos, ideais e teoria espetral. Aproximações da unidade. Estruturas ordenadas: cones, espaços com unidade de ordem e norma de ordem. Estados, estados puros, decomposição polar. Álgebras-JB* e álgebras-JC*. 3. Álgebras-JBW. Álgebras-JB monotonamente completas e estados normais. ÁlgebrasJBW e álgebras-JW. O espaço predual e o espaço bidual. Topologias forte e fraca. Reticulado de projeções, projeções de suporte, ortogonalidade e espaços de Peirce; equivalência de projeções. Famílias espetrais e o teorema de Gelfand-Neumark. Teoremas de representação; fatores. Estrutura facial da bola unitária. Álgebras-JBW* e álgebras-JW*. Conhecimentos prévios. Conhecimentos básicos de topologia, medida e integração, espaços de Banach, espaços de Hilbert e de operadores limitados definidos nestes espaços.

Metodologia de avaliação

[GNCT] Séries de exercícios ao longo do semestre (50%) e projecto de investigação (50%). [NJA]Exercícios (60%) e análise de um artigo de investigação (40%).

Disciplinas Execução

2018/2019 - 2ºSemestre

2017/2018 - 2ºSemestre

2016/2017 - 2ºSemestre

2015/2016 - 2º Semestre

2014/2015 - 2º Semestre

2013/2014 - 2 Semestre

2012/2013 - 2 Semestre

2011/2012 - 2 Semestre

2010/2011 - 2 Semestre

2009/2010 - 2 Semestre

2008/2009 - 2 Semestre

2007/2008 - 2 Semestre

2006/2007 - 1 Semestre