Disciplina Curricular
Operadores Pseudodiferenciais OP
Diploma de Estudos Avançados em Matemática - DEAMat2006
Contextos
Grupo: DEAMat2006 > 3º Ciclo > Análise Real e Análise Funcional
Período:
Peso
7.5 (para cálculo da média)
Objectivos
Apresentar uma abordagem comum ao estudo dos operadores diferenciais parciais e dos operadores integrais singulares em espaços de Sobolev e de distribuições, indispensáveis à compreensão da análise moderna e da física matemática, tendo em vista a sua aplicação à resolução de problemas de fronteira elípticos
Programa
Preliminares - espaços e operadores: Espaços e álgebras de Banach, classes de operadores lineares: compactos, de Fredholm e operadores coercivos, interpolação, regularizadores, transformação de Fourier, distribuições. Operadores de convolução em Rn: Convoluções, multiplicadores de Fourier, espaços de Sobolev e de potenciais de Bessel, princípios locais, operadores invariantes sob translação, teorema de representação de Hörmander. Operadores pseudodiferenciais em Rn: Definições e propriedades básicas, cálculo de símbolos, OΨDs com símbolo duplo, núcleo e propriedade pseudolocal, parametrices, teorema de regularidade de ordem pequena. Operadores pseudodiferenciais de Bessel em Rn: Continuidade de OΨDs, Teorema de Calderón-Vaillancourt, OΨDs compactos em Rn, desigualdade de Gårding, propriedade de Fredholm, símbolos lentamente oscilantes, operadores integrais singulares, operadores diferenciais parciais e soluções fundamentais.Operadores pseudodiferenciais em variedades sem fronteira: Mudança de variáveis, OΨDs em variedades, hyper-superfície em Rn, operadores diferenciais e OΨDs numa hyper-superfície de Rn. Fórmulas de Green e potenciais de camada: Fórmulas de Green para vários problemas de fronteira, OΨDs com propriedade de transmissão, representação de soluções por potenciais de camada, traços de potenciais generalizados, projecções de Calderón, fórmulas de Plemelji para potenciais de camada. Método de equações integrais na fronteira: Sistemas de EDOs, resuldados gerais sobre problemas de fronteira, o MEIF para um problema modelo, perspectiva sobre problemas básicos da teoria de elasticidade.
Metodologia de avaliação
Exame final